Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62235 / 33971
↖ ↑ ↗
← N 65.161118°
W  9.066468°		 ← 128.30 m → N 65.161118°
W  9.063721°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 65.159964°
W  9.066468°		 ← 128.31 m →
16 463 m²		 N 65.159964°
W  9.063721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474819183349609 y=0.259181976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474819183349609 × 217)
    floor (0.474819183349609 × 131072)
    floor (62235.5)     		tx = 62235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259181976318359 × 217)
    floor (0.259181976318359 × 131072)
    floor (33971.5)     		ty = 33971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62235 / 33971 ti = "17/62235/33971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62235/33971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62235 ÷ 217
    62235 ÷ 131072     		x = 0.474815368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33971 ÷ 217
    33971 ÷ 131072     		y = 0.259178161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474815368652344 × 2 - 1) × π
    -0.0503692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15823971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259178161621094 × 2 - 1) × π
    0.481643676757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.51312823650707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15823971} λ = -0.15823971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51312823650707))-π/2
    2×atan(4.5409136509417)-π/2
    2×1.35403618882216-π/2
    2.70807237764432-1.57079632675     		φ = 1.13727605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15823971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.066468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13727605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.161118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62235 KachelY 33971 -0.15823971 1.13727605 -9.066468 65.161118
    Oben rechts KachelX + 1 62236 KachelY 33971 -0.15819177 1.13727605 -9.063721 65.161118
    Unten links KachelX 62235 KachelY + 1 33972 -0.15823971 1.13725591 -9.066468 65.159964
    Unten rechts KachelX + 1 62236 KachelY + 1 33972 -0.15819177 1.13725591 -9.063721 65.159964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13727605-1.13725591) × R
    2.01400000001684e-05 × 6371000     		dl = 128.311940001073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13727605-1.13725591) × R
    2.01400000001684e-05 × 6371000     		dr = 128.311940001073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15823971--0.15819177) × cos(1.13727605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42006802385478 × 6371000     		do = 128.299587036174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15823971--0.15819177) × cos(1.13725591) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420086300670952 × 6371000     		du = 128.305169246278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13727605)-sin(1.13725591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42006802385478-0.420086300670952)×R²
    abs(-0.15819177--0.15823971)×1.82768161715585e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82768161715585e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82768161715585e-05×40589641000000     		ar = 16462.7270466148m²