Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62234 / 39589
↖ ↑ ↗
← N 57.837441°
W  9.069214°		 ← 162.55 m → N 57.837441°
W  9.066468°		 →
↑
162.59 m
↓
↑
162.59 m
↓
N 57.835979°
W  9.069214°		 ← 162.56 m →
26 429 m²		 N 57.835979°
W  9.066468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474811553955078 y=0.302043914794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474811553955078 × 217)
    floor (0.474811553955078 × 131072)
    floor (62234.5)     		tx = 62234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302043914794922 × 217)
    floor (0.302043914794922 × 131072)
    floor (39589.5)     		ty = 39589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62234 / 39589 ti = "17/62234/39589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62234/39589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62234 ÷ 217
    62234 ÷ 131072     		x = 0.474807739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39589 ÷ 217
    39589 ÷ 131072     		y = 0.302040100097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474807739257812 × 2 - 1) × π
    -0.050384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15828764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302040100097656 × 2 - 1) × π
    0.395919799804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.2438187344416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15828764} λ = -0.15828764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2438187344416))-π/2
    2×atan(3.46883476316431)-π/2
    2×1.29012505496189-π/2
    2.58025010992377-1.57079632675     		φ = 1.00945378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15828764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.069214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00945378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.837441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62234 KachelY 39589 -0.15828764 1.00945378 -9.069214 57.837441
    Oben rechts KachelX + 1 62235 KachelY 39589 -0.15823971 1.00945378 -9.066468 57.837441
    Unten links KachelX 62234 KachelY + 1 39590 -0.15828764 1.00942826 -9.069214 57.835979
    Unten rechts KachelX + 1 62235 KachelY + 1 39590 -0.15823971 1.00942826 -9.066468 57.835979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00945378-1.00942826) × R
    2.55200000001121e-05 × 6371000     		dl = 162.587920000714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00945378-1.00942826) × R
    2.55200000001121e-05 × 6371000     		dr = 162.587920000714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15828764--0.15823971) × cos(1.00945378) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.532323198499528 × 6371000     		do = 162.551292509914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15828764--0.15823971) × cos(1.00942826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.532344802057743 × 6371000     		du = 162.557889416306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00945378)-sin(1.00942826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532323198499528-0.532344802057743)×R²
    abs(-0.15823971--0.15828764)×2.16035582148999e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16035582148999e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16035582148999e-05×40589641000000     		ar = 26429.4128326378m²