Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62233 / 35127
↖ ↑ ↗
← N 63.793405°
W  9.071960°		 ← 134.88 m → N 63.793405°
W  9.069214°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
N 63.792192°
W  9.071960°		 ← 134.88 m →
18 192 m²		 N 63.792192°
W  9.069214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474803924560547 y=0.268001556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474803924560547 × 217)
    floor (0.474803924560547 × 131072)
    floor (62233.5)     		tx = 62233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268001556396484 × 217)
    floor (0.268001556396484 × 131072)
    floor (35127.5)     		ty = 35127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62233 / 35127 ti = "17/62233/35127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62233/35127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62233 ÷ 217
    62233 ÷ 131072     		x = 0.474800109863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35127 ÷ 217
    35127 ÷ 131072     		y = 0.267997741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474800109863281 × 2 - 1) × π
    -0.0503997802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15833558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267997741699219 × 2 - 1) × π
    0.464004516601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.45771318054629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15833558} λ = -0.15833558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45771318054629))-π/2
    2×atan(4.296123826852)-π/2
    2×1.34210063718098-π/2
    2.68420127436195-1.57079632675     		φ = 1.11340495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15833558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.071960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11340495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.793405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62233 KachelY 35127 -0.15833558 1.11340495 -9.071960 63.793405
    Oben rechts KachelX + 1 62234 KachelY 35127 -0.15828764 1.11340495 -9.069214 63.793405
    Unten links KachelX 62233 KachelY + 1 35128 -0.15833558 1.11338378 -9.071960 63.792192
    Unten rechts KachelX + 1 62234 KachelY + 1 35128 -0.15828764 1.11338378 -9.069214 63.792192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11340495-1.11338378) × R
    2.11700000001258e-05 × 6371000     		dl = 134.874070000802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11340495-1.11338378) × R
    2.11700000001258e-05 × 6371000     		dr = 134.874070000802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15833558--0.15828764) × cos(1.11340495) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441609135764807 × 6371000     		do = 134.878797081716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15833558--0.15828764) × cos(1.11338378) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441628129549486 × 6371000     		du = 134.884598272457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11340495)-sin(1.11338378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441609135764807-0.441628129549486)×R²
    abs(-0.15828764--0.15833558)×1.89937846790111e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89937846790111e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89937846790111e-05×40589641000000     		ar = 18192.0435350491m²