Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62230 / 33976
↖ ↑ ↗
← N 65.155349°
W  9.080200°		 ← 128.33 m → N 65.155349°
W  9.077453°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
N 65.154194°
W  9.080200°		 ← 128.33 m →
16 474 m²		 N 65.154194°
W  9.077453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474781036376953 y=0.259220123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474781036376953 × 217)
    floor (0.474781036376953 × 131072)
    floor (62230.5)     		tx = 62230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259220123291016 × 217)
    floor (0.259220123291016 × 131072)
    floor (33976.5)     		ty = 33976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62230 / 33976 ti = "17/62230/33976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62230/33976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62230 ÷ 217
    62230 ÷ 131072     		x = 0.474777221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33976 ÷ 217
    33976 ÷ 131072     		y = 0.25921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474777221679688 × 2 - 1) × π
    -0.050445556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15847939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25921630859375 × 2 - 1) × π
    0.4815673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51288855200897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15847939} λ = -0.15847939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51288855200897))-π/2
    2×atan(4.53982539475663)-π/2
    2×1.35398584145022-π/2
    2.70797168290045-1.57079632675     		φ = 1.13717536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15847939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.080200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13717536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.155349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62230 KachelY 33976 -0.15847939 1.13717536 -9.080200 65.155349
    Oben rechts KachelX + 1 62231 KachelY 33976 -0.15843145 1.13717536 -9.077453 65.155349
    Unten links KachelX 62230 KachelY + 1 33977 -0.15847939 1.13715521 -9.080200 65.154194
    Unten rechts KachelX + 1 62231 KachelY + 1 33977 -0.15843145 1.13715521 -9.077453 65.154194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13717536-1.13715521) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dl = 128.375650000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13717536-1.13715521) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dr = 128.375650000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15847939--0.15843145) × cos(1.13717536) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420159397157108 × 6371000     		do = 128.327494794654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15847939--0.15843145) × cos(1.13715521) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420177682195732 × 6371000     		du = 128.333079516106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13717536)-sin(1.13715521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420159397157108-0.420177682195732)×R²
    abs(-0.15843145--0.15847939)×1.82850386243882e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82850386243882e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82850386243882e-05×40589641000000     		ar = 16474.4840288209m²