Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62228 / 39080
↖ ↑ ↗
← N 58.573981°
W  9.085693°		 ← 159.21 m → N 58.573981°
W  9.082947°		 →
↑
159.28 m
↓
↑
159.28 m
↓
N 58.572549°
W  9.085693°		 ← 159.22 m →
25 359 m²		 N 58.572549°
W  9.082947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474765777587891 y=0.298160552978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474765777587891 × 217)
    floor (0.474765777587891 × 131072)
    floor (62228.5)     		tx = 62228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298160552978516 × 217)
    floor (0.298160552978516 × 131072)
    floor (39080.5)     		ty = 39080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62228 / 39080 ti = "17/62228/39080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62228/39080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62228 ÷ 217
    62228 ÷ 131072     		x = 0.474761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39080 ÷ 217
    39080 ÷ 131072     		y = 0.29815673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.05047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15857526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29815673828125 × 2 - 1) × π
    0.4036865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26821861634821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15857526} λ = -0.15857526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26821861634821))-π/2
    2×atan(3.55451496433718)-π/2
    2×1.29655257634973-π/2
    2.59310515269945-1.57079632675     		φ = 1.02230883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15857526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.085693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02230883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.573981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62228 KachelY 39080 -0.15857526 1.02230883 -9.085693 58.573981
    Oben rechts KachelX + 1 62229 KachelY 39080 -0.15852733 1.02230883 -9.082947 58.573981
    Unten links KachelX 62228 KachelY + 1 39081 -0.15857526 1.02228383 -9.085693 58.572549
    Unten rechts KachelX + 1 62229 KachelY + 1 39081 -0.15852733 1.02228383 -9.082947 58.572549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02230883-1.02228383) × R
    2.50000000001638e-05 × 6371000     		dl = 159.275000001043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02230883-1.02228383) × R
    2.50000000001638e-05 × 6371000     		dr = 159.275000001043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15857526--0.15852733) × cos(1.02230883) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521397185483479 × 6371000     		do = 159.214902995527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15857526--0.15852733) × cos(1.02228383) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521418518173358 × 6371000     		du = 159.221417189014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02230883)-sin(1.02228383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521397185483479-0.521418518173358)×R²
    abs(-0.15852733--0.15857526)×2.13326898793609e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13326898793609e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13326898793609e-05×40589641000000     		ar = 25359.4724501811m²