Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62228 / 33974
↖ ↑ ↗
← N 65.157657°
W  9.085693°		 ← 128.29 m → N 65.157657°
W  9.082947°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 65.156503°
W  9.085693°		 ← 128.30 m →
16 461 m²		 N 65.156503°
W  9.082947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474765777587891 y=0.259204864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474765777587891 × 217)
    floor (0.474765777587891 × 131072)
    floor (62228.5)     		tx = 62228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259204864501953 × 217)
    floor (0.259204864501953 × 131072)
    floor (33974.5)     		ty = 33974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62228 / 33974 ti = "17/62228/33974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62228/33974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62228 ÷ 217
    62228 ÷ 131072     		x = 0.474761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33974 ÷ 217
    33974 ÷ 131072     		y = 0.259201049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.05047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15857526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259201049804688 × 2 - 1) × π
    0.481597900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51298442580821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15857526} λ = -0.15857526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51298442580821))-π/2
    2×atan(4.54026066593033)-π/2
    2×1.35400598171311-π/2
    2.70801196342623-1.57079632675     		φ = 1.13721564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15857526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.085693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13721564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.157657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62228 KachelY 33974 -0.15857526 1.13721564 -9.085693 65.157657
    Oben rechts KachelX + 1 62229 KachelY 33974 -0.15852733 1.13721564 -9.082947 65.157657
    Unten links KachelX 62228 KachelY + 1 33975 -0.15857526 1.13719550 -9.085693 65.156503
    Unten rechts KachelX + 1 62229 KachelY + 1 33975 -0.15852733 1.13719550 -9.082947 65.156503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13721564-1.13719550) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13721564-1.13719550) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15857526--0.15852733) × cos(1.13721564) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.420122844717429 × 6371000     		do = 128.289564712293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15857526--0.15852733) × cos(1.13719550) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.420141121022477 × 6371000     		du = 128.295145601904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13721564)-sin(1.13719550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420122844717429-0.420141121022477)×R²
    abs(-0.15852733--0.15857526)×1.82763050480261e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.82763050480261e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.82763050480261e-05×40589641000000     		ar = 16461.4409778943m²