Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62227 / 13579
↖ ↑ ↗
← N 71.946671°
E161.823120°		 ← 189.30 m → N 71.946671°
E161.828614°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
N 71.944969°
E161.823120°		 ← 189.32 m →
35 834 m²		 N 71.944969°
E161.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949516296386719 y=0.207206726074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949516296386719 × 216)
    floor (0.949516296386719 × 65536)
    floor (62227.5)     		tx = 62227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207206726074219 × 216)
    floor (0.207206726074219 × 65536)
    floor (13579.5)     		ty = 13579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62227 / 13579 ti = "16/62227/13579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62227/13579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62227 ÷ 216
    62227 ÷ 65536     		x = 0.949508666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13579 ÷ 216
    13579 ÷ 65536     		y = 0.207199096679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949508666992188 × 2 - 1) × π
    0.899017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82434625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207199096679688 × 2 - 1) × π
    0.585601806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83972233361852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82434625} λ = 2.82434625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83972233361852))-π/2
    2×atan(6.29479016673658)-π/2
    2×1.41325131351639-π/2
    2.82650262703277-1.57079632675     		φ = 1.25570630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82434625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.823120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25570630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.946671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62227 KachelY 13579 2.82434625 1.25570630 161.823120 71.946671
    Oben rechts KachelX + 1 62228 KachelY 13579 2.82444213 1.25570630 161.828614 71.946671
    Unten links KachelX 62227 KachelY + 1 13580 2.82434625 1.25567659 161.823120 71.944969
    Unten rechts KachelX + 1 62228 KachelY + 1 13580 2.82444213 1.25567659 161.828614 71.944969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25570630-1.25567659) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dl = 189.282409999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25570630-1.25567659) × R
    2.97099999999606e-05 × 6371000     		dr = 189.282409999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82434625-2.82444213) × cos(1.25570630) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.309902067122576 × 6371000     		do = 189.304136356761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82434625-2.82444213) × cos(1.25567659) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.309930314317437 × 6371000     		du = 189.321391197548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25570630)-sin(1.25567659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309902067122576-0.309930314317437)×R²
    abs(2.82444213-2.82434625)×2.8247194861164e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.8247194861164e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.8247194861164e-05×40589641000000     		ar = 35833.5761741976m²