Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62227 / 13535
↖ ↑ ↗
← N 72.021425°
E161.823120°		 ← 188.55 m → N 72.021425°
E161.828614°		 →
↑
188.58 m
↓
↑
188.58 m
↓
N 72.019729°
E161.823120°		 ← 188.56 m →
35 558 m²		 N 72.019729°
E161.828614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949516296386719 y=0.206535339355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949516296386719 × 216)
    floor (0.949516296386719 × 65536)
    floor (62227.5)     		tx = 62227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206535339355469 × 216)
    floor (0.206535339355469 × 65536)
    floor (13535.5)     		ty = 13535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62227 / 13535 ti = "16/62227/13535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62227/13535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62227 ÷ 216
    62227 ÷ 65536     		x = 0.949508666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13535 ÷ 216
    13535 ÷ 65536     		y = 0.206527709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949508666992188 × 2 - 1) × π
    0.899017333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82434625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206527709960938 × 2 - 1) × π
    0.586944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84394078078508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82434625} λ = 2.82434625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84394078078508))-π/2
    2×atan(6.32140049414816)-π/2
    2×1.41390365700554-π/2
    2.82780731401108-1.57079632675     		φ = 1.25701099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82434625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.823120°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25701099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.021425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62227 KachelY 13535 2.82434625 1.25701099 161.823120 72.021425
    Oben rechts KachelX + 1 62228 KachelY 13535 2.82444213 1.25701099 161.828614 72.021425
    Unten links KachelX 62227 KachelY + 1 13536 2.82434625 1.25698139 161.823120 72.019729
    Unten rechts KachelX + 1 62228 KachelY + 1 13536 2.82444213 1.25698139 161.828614 72.019729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25701099-1.25698139) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dl = 188.581599999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25701099-1.25698139) × R
    2.9599999999963e-05 × 6371000     		dr = 188.581599999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82434625-2.82444213) × cos(1.25701099) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.30866134558196 × 6371000     		do = 188.546239767408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82434625-2.82444213) × cos(1.25698139) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.30868950013794 × 6371000     		du = 188.563438019597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25701099)-sin(1.25698139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30866134558196-0.30868950013794)×R²
    abs(2.82444213-2.82434625)×2.81545559799867e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.81545559799867e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.81545559799867e-05×40589641000000     		ar = 35557.9732089864m²