Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62226 / 39671
↖ ↑ ↗
← N 57.717352°
W  9.091187°		 ← 163.13 m → N 57.717352°
W  9.088440°		 →
↑
163.10 m
↓
↑
163.10 m
↓
N 57.715885°
W  9.091187°		 ← 163.13 m →
26 606 m²		 N 57.715885°
W  9.088440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474750518798828 y=0.302669525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474750518798828 × 217)
    floor (0.474750518798828 × 131072)
    floor (62226.5)     		tx = 62226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302669525146484 × 217)
    floor (0.302669525146484 × 131072)
    floor (39671.5)     		ty = 39671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62226 / 39671 ti = "17/62226/39671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62226/39671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62226 ÷ 217
    62226 ÷ 131072     		x = 0.474746704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39671 ÷ 217
    39671 ÷ 131072     		y = 0.302665710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474746704101562 × 2 - 1) × π
    -0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302665710449219 × 2 - 1) × π
    0.394668579101562 × 3.1415926535     		Φ = 1.23988790867275
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15867114} λ = -0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23988790867275))-π/2
    2×atan(3.45522614217111)-π/2
    2×1.28907707819961-π/2
    2.57815415639922-1.57079632675     		φ = 1.00735783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00735783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.717352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62226 KachelY 39671 -0.15867114 1.00735783 -9.091187 57.717352
    Oben rechts KachelX + 1 62227 KachelY 39671 -0.15862320 1.00735783 -9.088440 57.717352
    Unten links KachelX 62226 KachelY + 1 39672 -0.15867114 1.00733223 -9.091187 57.715885
    Unten rechts KachelX + 1 62227 KachelY + 1 39672 -0.15862320 1.00733223 -9.088440 57.715885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00735783-1.00733223) × R
    2.5599999999848e-05 × 6371000     		dl = 163.097599999031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00735783-1.00733223) × R
    2.5599999999848e-05 × 6371000     		dr = 163.097599999031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15867114--0.15862320) × cos(1.00735783) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534096335990589 × 6371000     		do = 163.126768651202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15867114--0.15862320) × cos(1.00733223) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.534117978660346 × 6371000     		du = 163.133378879628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00735783)-sin(1.00733223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534096335990589-0.534117978660346)×R²
    abs(-0.15862320--0.15867114)×2.16426697572381e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16426697572381e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16426697572381e-05×40589641000000     		ar = 26606.1235202599m²