Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62226 / 38127
↖ ↑ ↗
← N 59.912353°
W  9.091187°		 ← 153.12 m → N 59.912353°
W  9.088440°		 →
↑
153.10 m
↓
↑
153.10 m
↓
N 59.910976°
W  9.091187°		 ← 153.12 m →
23 442 m²		 N 59.910976°
W  9.088440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474750518798828 y=0.290889739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474750518798828 × 217)
    floor (0.474750518798828 × 131072)
    floor (62226.5)     		tx = 62226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290889739990234 × 217)
    floor (0.290889739990234 × 131072)
    floor (38127.5)     		ty = 38127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62226 / 38127 ti = "17/62226/38127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62226/38127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62226 ÷ 217
    62226 ÷ 131072     		x = 0.474746704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38127 ÷ 217
    38127 ÷ 131072     		y = 0.290885925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474746704101562 × 2 - 1) × π
    -0.050506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15867114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290885925292969 × 2 - 1) × π
    0.418228149414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.31390248168612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15867114} λ = -0.15867114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31390248168612))-π/2
    2×atan(3.72066524532758)-π/2
    2×1.30823207398796-π/2
    2.61646414797591-1.57079632675     		φ = 1.04566782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15867114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.091187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04566782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.912353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62226 KachelY 38127 -0.15867114 1.04566782 -9.091187 59.912353
    Oben rechts KachelX + 1 62227 KachelY 38127 -0.15862320 1.04566782 -9.088440 59.912353
    Unten links KachelX 62226 KachelY + 1 38128 -0.15867114 1.04564379 -9.091187 59.910976
    Unten rechts KachelX + 1 62227 KachelY + 1 38128 -0.15862320 1.04564379 -9.088440 59.910976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04566782-1.04564379) × R
    2.40300000000637e-05 × 6371000     		dl = 153.095130000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04566782-1.04564379) × R
    2.40300000000637e-05 × 6371000     		dr = 153.095130000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15867114--0.15862320) × cos(1.04566782) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.501324200541262 × 6371000     		do = 153.117314930212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15867114--0.15862320) × cos(1.04564379) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.501344992582908 × 6371000     		du = 153.123665354918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04566782)-sin(1.04564379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501324200541262-0.501344992582908)×R²
    abs(-0.15862320--0.15867114)×2.07920416461782e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07920416461782e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07920416461782e-05×40589641000000     		ar = 23442.0013453676m²