Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62225 / 76752
↖ ↑ ↗
← S 29.420460°
W  9.093933°		 ← 265.98 m → S 29.420460°
W  9.091187°		 →
↑
265.99 m
↓
↑
265.99 m
↓
S 29.422852°
W  9.093933°		 ← 265.98 m →
70 748 m²		 S 29.422852°
W  9.091187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76752 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474742889404297 y=0.585575103759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474742889404297 × 217)
    floor (0.474742889404297 × 131072)
    floor (62225.5)     		tx = 62225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585575103759766 × 217)
    floor (0.585575103759766 × 131072)
    floor (76752.5)     		ty = 76752
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62225 / 76752 ti = "17/62225/76752"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62225/76752.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62225 ÷ 217
    62225 ÷ 131072     		x = 0.474739074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76752 ÷ 217
    76752 ÷ 131072     		y = 0.5855712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474739074707031 × 2 - 1) × π
    -0.0505218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15871907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5855712890625 × 2 - 1) × π
    -0.171142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.53766026613855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15871907} λ = -0.15871907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.53766026613855))-π/2
    2×atan(0.584113324522794)-π/2
    2×0.528656213202595-π/2
    1.05731242640519-1.57079632675     		φ = -0.51348390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15871907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.093933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51348390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.420460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62225 KachelY 76752 -0.15871907 -0.51348390 -9.093933 -29.420460
    Oben rechts KachelX + 1 62226 KachelY 76752 -0.15867114 -0.51348390 -9.091187 -29.420460
    Unten links KachelX 62225 KachelY + 1 76753 -0.15871907 -0.51352565 -9.093933 -29.422852
    Unten rechts KachelX + 1 62226 KachelY + 1 76753 -0.15867114 -0.51352565 -9.091187 -29.422852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51348390--0.51352565) × R
    4.17499999999515e-05 × 6371000     		dl = 265.989249999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51348390--0.51352565) × R
    4.17499999999515e-05 × 6371000     		dr = 265.989249999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15871907--0.15867114) × cos(-0.51348390) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.871038453887137 × 6371000     		do = 265.982070487046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15871907--0.15867114) × cos(-0.51352565) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.871017944908741 × 6371000     		du = 265.97580782377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51348390)-sin(-0.51352565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871038453887137-0.871017944908741)×R²
    abs(-0.15867114--0.15871907)×2.05089783958945e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.05089783958945e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.05089783958945e-05×40589641000000     		ar = 70747.5385519261m²