Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62225 / 38129
↖ ↑ ↗
← N 59.909599°
W  9.093933°		 ← 153.10 m → N 59.909599°
W  9.091187°		 →
↑
153.16 m
↓
↑
153.16 m
↓
N 59.908222°
W  9.093933°		 ← 153.10 m →
23 449 m²		 N 59.908222°
W  9.091187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474742889404297 y=0.290904998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474742889404297 × 217)
    floor (0.474742889404297 × 131072)
    floor (62225.5)     		tx = 62225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290904998779297 × 217)
    floor (0.290904998779297 × 131072)
    floor (38129.5)     		ty = 38129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62225 / 38129 ti = "17/62225/38129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62225/38129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62225 ÷ 217
    62225 ÷ 131072     		x = 0.474739074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38129 ÷ 217
    38129 ÷ 131072     		y = 0.290901184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474739074707031 × 2 - 1) × π
    -0.0505218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15871907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290901184082031 × 2 - 1) × π
    0.418197631835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.31380660788688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15871907} λ = -0.15871907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31380660788688))-π/2
    2×atan(3.72030854811404)-π/2
    2×1.30820804106331-π/2
    2.61641608212663-1.57079632675     		φ = 1.04561976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15871907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.093933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04561976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.909599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62225 KachelY 38129 -0.15871907 1.04561976 -9.093933 59.909599
    Oben rechts KachelX + 1 62226 KachelY 38129 -0.15867114 1.04561976 -9.091187 59.909599
    Unten links KachelX 62225 KachelY + 1 38130 -0.15871907 1.04559572 -9.093933 59.908222
    Unten rechts KachelX + 1 62226 KachelY + 1 38130 -0.15867114 1.04559572 -9.091187 59.908222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04561976-1.04559572) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dl = 153.158840000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04561976-1.04559572) × R
    2.40400000000029e-05 × 6371000     		dr = 153.158840000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15871907--0.15867114) × cos(1.04561976) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.501365784335057 × 6371000     		do = 153.0980736771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15871907--0.15867114) × cos(1.04559572) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.501386584449931 × 6371000     		du = 153.104425242402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04561976)-sin(1.04559572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501365784335057-0.501386584449931)×R²
    abs(-0.15867114--0.15871907)×2.08001148735981e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08001148735981e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08001148735981e-05×40589641000000     		ar = 23448.8097707792m²