Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62225 / 38128
↖ ↑ ↗
← N 59.910976°
W  9.093933°		 ← 153.09 m → N 59.910976°
W  9.091187°		 →
↑
153.10 m
↓
↑
153.10 m
↓
N 59.909599°
W  9.093933°		 ← 153.10 m →
23 438 m²		 N 59.909599°
W  9.091187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474742889404297 y=0.290897369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474742889404297 × 217)
    floor (0.474742889404297 × 131072)
    floor (62225.5)     		tx = 62225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290897369384766 × 217)
    floor (0.290897369384766 × 131072)
    floor (38128.5)     		ty = 38128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62225 / 38128 ti = "17/62225/38128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62225/38128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62225 ÷ 217
    62225 ÷ 131072     		x = 0.474739074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38128 ÷ 217
    38128 ÷ 131072     		y = 0.2908935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474739074707031 × 2 - 1) × π
    -0.0505218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15871907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2908935546875 × 2 - 1) × π
    0.418212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3138545447865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15871907} λ = -0.15871907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3138545447865))-π/2
    2×atan(3.72048689244607)-π/2
    2×1.30822005777484-π/2
    2.61644011554968-1.57079632675     		φ = 1.04564379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15871907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.093933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04564379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.910976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62225 KachelY 38128 -0.15871907 1.04564379 -9.093933 59.910976
    Oben rechts KachelX + 1 62226 KachelY 38128 -0.15867114 1.04564379 -9.091187 59.910976
    Unten links KachelX 62225 KachelY + 1 38129 -0.15871907 1.04561976 -9.093933 59.909599
    Unten rechts KachelX + 1 62226 KachelY + 1 38129 -0.15867114 1.04561976 -9.091187 59.909599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04564379-1.04561976) × R
    2.40300000000637e-05 × 6371000     		dl = 153.095130000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04564379-1.04561976) × R
    2.40300000000637e-05 × 6371000     		dr = 153.095130000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15871907--0.15867114) × cos(1.04564379) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.501344992582908 × 6371000     		do = 153.091724665457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15871907--0.15867114) × cos(1.04561976) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.501365784335057 × 6371000     		du = 153.0980736771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04564379)-sin(1.04561976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501344992582908-0.501365784335057)×R²
    abs(-0.15867114--0.15871907)×2.07917521489742e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.07917521489742e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.07917521489742e-05×40589641000000     		ar = 23438.0834921833m²