Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62225 / 13533
↖ ↑ ↗
← N 72.024815°
E161.812134°		 ← 188.51 m → N 72.024815°
E161.817627°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 72.023120°
E161.812134°		 ← 188.53 m →
35 539 m²		 N 72.023120°
E161.817627°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949485778808594 y=0.206504821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949485778808594 × 216)
    floor (0.949485778808594 × 65536)
    floor (62225.5)     		tx = 62225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206504821777344 × 216)
    floor (0.206504821777344 × 65536)
    floor (13533.5)     		ty = 13533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62225 / 13533 ti = "16/62225/13533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62225/13533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62225 ÷ 216
    62225 ÷ 65536     		x = 0.949478149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13533 ÷ 216
    13533 ÷ 65536     		y = 0.206497192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949478149414062 × 2 - 1) × π
    0.898956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82415450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206497192382812 × 2 - 1) × π
    0.587005615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84413252838356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82415450} λ = 2.82415450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84413252838356))-π/2
    2×atan(6.32261272372928)-π/2
    2×1.4139332468432-π/2
    2.82786649368641-1.57079632675     		φ = 1.25707017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82415450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.812134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25707017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.024815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62225 KachelY 13533 2.82415450 1.25707017 161.812134 72.024815
    Oben rechts KachelX + 1 62226 KachelY 13533 2.82425038 1.25707017 161.817627 72.024815
    Unten links KachelX 62225 KachelY + 1 13534 2.82415450 1.25704058 161.812134 72.023120
    Unten rechts KachelX + 1 62226 KachelY + 1 13534 2.82425038 1.25704058 161.817627 72.023120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25707017-1.25704058) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25707017-1.25704058) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82415450-2.82425038) × cos(1.25707017) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.30860505468252 × 6371000     		do = 188.511854388175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82415450-2.82425038) × cos(1.25704058) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.308633200267355 × 6371000     		du = 188.529047160326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25707017)-sin(1.25704058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30860505468252-0.308633200267355)×R²
    abs(2.82425038-2.82415450)×2.81455848347711e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.81455848347711e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.81455848347711e-05×40589641000000     		ar = 35539.4776044091m²