Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62224 / 38121
↖ ↑ ↗
← N 59.920613°
W  9.096680°		 ← 153.08 m → N 59.920613°
W  9.093933°		 →
↑
153.03 m
↓
↑
153.03 m
↓
N 59.919237°
W  9.096680°		 ← 153.09 m →
23 426 m²		 N 59.919237°
W  9.093933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474735260009766 y=0.290843963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474735260009766 × 217)
    floor (0.474735260009766 × 131072)
    floor (62224.5)     		tx = 62224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290843963623047 × 217)
    floor (0.290843963623047 × 131072)
    floor (38121.5)     		ty = 38121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62224 / 38121 ti = "17/62224/38121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62224/38121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62224 ÷ 217
    62224 ÷ 131072     		x = 0.4747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38121 ÷ 217
    38121 ÷ 131072     		y = 0.290840148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290840148925781 × 2 - 1) × π
    0.418319702148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.31419010308384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15876701} λ = -0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31419010308384))-π/2
    2×atan(3.72173554217865)-π/2
    2×1.3083041608008-π/2
    2.6166083216016-1.57079632675     		φ = 1.04581199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04581199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.920613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62224 KachelY 38121 -0.15876701 1.04581199 -9.096680 59.920613
    Oben rechts KachelX + 1 62225 KachelY 38121 -0.15871907 1.04581199 -9.093933 59.920613
    Unten links KachelX 62224 KachelY + 1 38122 -0.15876701 1.04578797 -9.096680 59.919237
    Unten rechts KachelX + 1 62225 KachelY + 1 38122 -0.15871907 1.04578797 -9.093933 59.919237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04581199-1.04578797) × R
    2.40200000001245e-05 × 6371000     		dl = 153.031420000793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04581199-1.04578797) × R
    2.40200000001245e-05 × 6371000     		dr = 153.031420000793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15876701--0.15871907) × cos(1.04581199) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.501199450865937 × 6371000     		do = 153.079213168311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15876701--0.15871907) × cos(1.04578797) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.501220235990996 × 6371000     		du = 153.085561480513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04581199)-sin(1.04578797))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501199450865937-0.501220235990996)×R²
    abs(-0.15871907--0.15876701)×2.07851250586533e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.07851250586533e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.07851250586533e-05×40589641000000     		ar = 23426.4151104741m²