Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62224 / 35121
↖ ↑ ↗
← N 63.800681°
W  9.096680°		 ← 134.84 m → N 63.800681°
W  9.093933°		 →
↑
134.87 m
↓
↑
134.87 m
↓
N 63.799468°
W  9.096680°		 ← 134.85 m →
18 187 m²		 N 63.799468°
W  9.093933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474735260009766 y=0.267955780029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474735260009766 × 217)
    floor (0.474735260009766 × 131072)
    floor (62224.5)     		tx = 62224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267955780029297 × 217)
    floor (0.267955780029297 × 131072)
    floor (35121.5)     		ty = 35121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62224 / 35121 ti = "17/62224/35121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62224/35121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62224 ÷ 217
    62224 ÷ 131072     		x = 0.4747314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35121 ÷ 217
    35121 ÷ 131072     		y = 0.267951965332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.050537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15876701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267951965332031 × 2 - 1) × π
    0.464096069335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.45800080194401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15876701} λ = -0.15876701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45800080194401))-π/2
    2×atan(4.29735966170961)-π/2
    2×1.34216413710593-π/2
    2.68432827421187-1.57079632675     		φ = 1.11353195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15876701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.096680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11353195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.800681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62224 KachelY 35121 -0.15876701 1.11353195 -9.096680 63.800681
    Oben rechts KachelX + 1 62225 KachelY 35121 -0.15871907 1.11353195 -9.093933 63.800681
    Unten links KachelX 62224 KachelY + 1 35122 -0.15876701 1.11351078 -9.096680 63.799468
    Unten rechts KachelX + 1 62225 KachelY + 1 35122 -0.15871907 1.11351078 -9.093933 63.799468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11353195-1.11351078) × R
    2.11700000001258e-05 × 6371000     		dl = 134.874070000802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11353195-1.11351078) × R
    2.11700000001258e-05 × 6371000     		dr = 134.874070000802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15876701--0.15871907) × cos(1.11353195) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441495186846079 × 6371000     		do = 134.843994148892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15876701--0.15871907) × cos(1.11351078) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.441514181817937 × 6371000     		du = 134.849795702228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11353195)-sin(1.11351078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441495186846079-0.441514181817937)×R²
    abs(-0.15871907--0.15876701)×1.89949718572557e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89949718572557e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89949718572557e-05×40589641000000     		ar = 18187.3495463143m²