Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62224 / 13555
↖ ↑ ↗
← N 71.987483°
E161.806641°		 ← 188.87 m → N 71.987483°
E161.812134°		 →
↑
188.90 m
↓
↑
188.90 m
↓
N 71.985784°
E161.806641°		 ← 188.89 m →
35 679 m²		 N 71.985784°
E161.812134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949470520019531 y=0.206840515136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949470520019531 × 216)
    floor (0.949470520019531 × 65536)
    floor (62224.5)     		tx = 62224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206840515136719 × 216)
    floor (0.206840515136719 × 65536)
    floor (13555.5)     		ty = 13555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62224 / 13555 ti = "16/62224/13555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62224/13555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62224 ÷ 216
    62224 ÷ 65536     		x = 0.949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13555 ÷ 216
    13555 ÷ 65536     		y = 0.206832885742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949462890625 × 2 - 1) × π
    0.89892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82405863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206832885742188 × 2 - 1) × π
    0.586334228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84202330480028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82405863} λ = 2.82405863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84202330480028))-π/2
    2×atan(6.30929097407754)-π/2
    2×1.41360746163573-π/2
    2.82721492327146-1.57079632675     		φ = 1.25641860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82405863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25641860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.987483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62224 KachelY 13555 2.82405863 1.25641860 161.806641 71.987483
    Oben rechts KachelX + 1 62225 KachelY 13555 2.82415450 1.25641860 161.812134 71.987483
    Unten links KachelX 62224 KachelY + 1 13556 2.82405863 1.25638895 161.806641 71.985784
    Unten rechts KachelX + 1 62225 KachelY + 1 13556 2.82415450 1.25638895 161.812134 71.985784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25641860-1.25638895) × R
    2.96499999998812e-05 × 6371000     		dl = 188.900149999243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25641860-1.25638895) × R
    2.96499999998812e-05 × 6371000     		dr = 188.900149999243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82405863-2.82415450) × cos(1.25641860) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309224756171504 × 6371000     		do = 188.870699250782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82405863-2.82415450) × cos(1.25638895) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.30925295285899 × 6371000     		du = 188.887921442654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25641860)-sin(1.25638895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309224756171504-0.30925295285899)×R²
    abs(2.82415450-2.82405863)×2.81966874868256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81966874868256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81966874868256e-05×40589641000000     		ar = 35679.3300586267m²