Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62223 / 39684
↖ ↑ ↗
← N 57.698277°
W  9.099426°		 ← 163.21 m → N 57.698277°
W  9.096680°		 →
↑
163.16 m
↓
↑
163.16 m
↓
N 57.696809°
W  9.099426°		 ← 163.22 m →
26 631 m²		 N 57.696809°
W  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474727630615234 y=0.302768707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474727630615234 × 217)
    floor (0.474727630615234 × 131072)
    floor (62223.5)     		tx = 62223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302768707275391 × 217)
    floor (0.302768707275391 × 131072)
    floor (39684.5)     		ty = 39684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62223 / 39684 ti = "17/62223/39684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62223/39684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62223 ÷ 217
    62223 ÷ 131072     		x = 0.474723815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39684 ÷ 217
    39684 ÷ 131072     		y = 0.302764892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474723815917969 × 2 - 1) × π
    -0.0505523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15881495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302764892578125 × 2 - 1) × π
    0.39447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23926472897769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15881495} λ = -0.15881495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23926472897769))-π/2
    2×atan(3.45307358618172)-π/2
    2×1.28891061535999-π/2
    2.57782123071998-1.57079632675     		φ = 1.00702490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15881495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.099426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00702490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.698277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62223 KachelY 39684 -0.15881495 1.00702490 -9.099426 57.698277
    Oben rechts KachelX + 1 62224 KachelY 39684 -0.15876701 1.00702490 -9.096680 57.698277
    Unten links KachelX 62223 KachelY + 1 39685 -0.15881495 1.00699929 -9.099426 57.696809
    Unten rechts KachelX + 1 62224 KachelY + 1 39685 -0.15876701 1.00699929 -9.096680 57.696809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00702490-1.00699929) × R
    2.56100000000092e-05 × 6371000     		dl = 163.161310000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00702490-1.00699929) × R
    2.56100000000092e-05 × 6371000     		dr = 163.161310000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15881495--0.15876701) × cos(1.00702490) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534377773272245 × 6371000     		do = 163.21272684131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15881495--0.15876701) × cos(1.00699929) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.534399419840925 × 6371000     		du = 163.219338260567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00702490)-sin(1.00699929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534377773272245-0.534399419840925)×R²
    abs(-0.15876701--0.15881495)×2.16465686792011e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16465686792011e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16465686792011e-05×40589641000000     		ar = 26630.5416855177m²