Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62223 / 38126
↖ ↑ ↗
← N 59.913730°
W  9.099426°		 ← 153.11 m → N 59.913730°
W  9.096680°		 →
↑
153.10 m
↓
↑
153.10 m
↓
N 59.912353°
W  9.099426°		 ← 153.12 m →
23 441 m²		 N 59.912353°
W  9.096680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474727630615234 y=0.290882110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474727630615234 × 217)
    floor (0.474727630615234 × 131072)
    floor (62223.5)     		tx = 62223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290882110595703 × 217)
    floor (0.290882110595703 × 131072)
    floor (38126.5)     		ty = 38126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62223 / 38126 ti = "17/62223/38126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62223/38126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62223 ÷ 217
    62223 ÷ 131072     		x = 0.474723815917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38126 ÷ 217
    38126 ÷ 131072     		y = 0.290878295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474723815917969 × 2 - 1) × π
    -0.0505523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15881495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290878295898438 × 2 - 1) × π
    0.418243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31395041858574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15881495} λ = -0.15881495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31395041858574))-π/2
    2×atan(3.72084360675897)-π/2
    2×1.30824408970267-π/2
    2.61648817940535-1.57079632675     		φ = 1.04569185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15881495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.099426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04569185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.913730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62223 KachelY 38126 -0.15881495 1.04569185 -9.099426 59.913730
    Oben rechts KachelX + 1 62224 KachelY 38126 -0.15876701 1.04569185 -9.096680 59.913730
    Unten links KachelX 62223 KachelY + 1 38127 -0.15881495 1.04566782 -9.099426 59.912353
    Unten rechts KachelX + 1 62224 KachelY + 1 38127 -0.15876701 1.04566782 -9.096680 59.912353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04569185-1.04566782) × R
    2.40300000000637e-05 × 6371000     		dl = 153.095130000406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04569185-1.04566782) × R
    2.40300000000637e-05 × 6371000     		dr = 153.095130000406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15881495--0.15876701) × cos(1.04569185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501303408210131 × 6371000     		do = 153.110964417178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15881495--0.15876701) × cos(1.04566782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.501324200541262 × 6371000     		du = 153.1173149303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04569185)-sin(1.04566782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.501303408210131-0.501324200541262)×R²
    abs(-0.15876701--0.15881495)×2.07923311311697e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07923311311697e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07923311311697e-05×40589641000000     		ar = 23441.0291193355m²