Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62222 / 33903
↖ ↑ ↗
← N 65.239457°
W  9.102173°		 ← 127.92 m → N 65.239457°
W  9.099426°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 65.238307°
W  9.102173°		 ← 127.93 m →
16 365 m²		 N 65.238307°
W  9.099426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474720001220703 y=0.258663177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474720001220703 × 217)
    floor (0.474720001220703 × 131072)
    floor (62222.5)     		tx = 62222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258663177490234 × 217)
    floor (0.258663177490234 × 131072)
    floor (33903.5)     		ty = 33903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62222 / 33903 ti = "17/62222/33903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62222/33903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62222 ÷ 217
    62222 ÷ 131072     		x = 0.474716186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33903 ÷ 217
    33903 ÷ 131072     		y = 0.258659362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474716186523438 × 2 - 1) × π
    -0.050567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15886289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258659362792969 × 2 - 1) × π
    0.482681274414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.51638794568124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15886289} λ = -0.15886289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51638794568124))-π/2
    2×atan(4.55573986026579)-π/2
    2×1.35471982674859-π/2
    2.70943965349718-1.57079632675     		φ = 1.13864333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15886289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.102173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13864333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.239457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62222 KachelY 33903 -0.15886289 1.13864333 -9.102173 65.239457
    Oben rechts KachelX + 1 62223 KachelY 33903 -0.15881495 1.13864333 -9.099426 65.239457
    Unten links KachelX 62222 KachelY + 1 33904 -0.15886289 1.13862325 -9.102173 65.238307
    Unten rechts KachelX + 1 62223 KachelY + 1 33904 -0.15881495 1.13862325 -9.099426 65.238307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13864333-1.13862325) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13864333-1.13862325) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15886289--0.15881495) × cos(1.13864333) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418826835082935 × 6371000     		do = 127.920496037054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15886289--0.15881495) × cos(1.13862325) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41884506896623 × 6371000     		du = 127.926065134352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13864333)-sin(1.13862325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418826835082935-0.41884506896623)×R²
    abs(-0.15881495--0.15886289)×1.82338832949713e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82338832949713e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82338832949713e-05×40589641000000     		ar = 16365.1843503791m²