Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62222 / 13571
↖ ↑ ↗
← N 71.960285°
E161.795654°		 ← 189.17 m → N 71.960285°
E161.801148°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
N 71.958584°
E161.795654°		 ← 189.18 m →
35 795 m²		 N 71.958584°
E161.801148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949440002441406 y=0.207084655761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949440002441406 × 216)
    floor (0.949440002441406 × 65536)
    floor (62222.5)     		tx = 62222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207084655761719 × 216)
    floor (0.207084655761719 × 65536)
    floor (13571.5)     		ty = 13571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62222 / 13571 ti = "16/62222/13571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62222/13571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62222 ÷ 216
    62222 ÷ 65536     		x = 0.949432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13571 ÷ 216
    13571 ÷ 65536     		y = 0.207077026367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949432373046875 × 2 - 1) × π
    0.89886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82386688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207077026367188 × 2 - 1) × π
    0.585845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84048932401244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82386688} λ = 2.82386688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84048932401244))-π/2
    2×atan(6.2996200623312)-π/2
    2×1.41337011614695-π/2
    2.82674023229389-1.57079632675     		φ = 1.25594391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82386688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.795654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25594391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.960285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62222 KachelY 13571 2.82386688 1.25594391 161.795654 71.960285
    Oben rechts KachelX + 1 62223 KachelY 13571 2.82396276 1.25594391 161.801148 71.960285
    Unten links KachelX 62222 KachelY + 1 13572 2.82386688 1.25591421 161.795654 71.958584
    Unten rechts KachelX + 1 62223 KachelY + 1 13572 2.82396276 1.25591421 161.801148 71.958584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25594391-1.25591421) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25594391-1.25591421) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82386688-2.82396276) × cos(1.25594391) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.309676146277086 × 6371000     		do = 189.16613227393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82386688-2.82396276) × cos(1.25591421) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.309704386150641 × 6371000     		du = 189.183382642486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25594391)-sin(1.25591421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309676146277086-0.309704386150641)×R²
    abs(2.82396276-2.82386688)×2.82398735551026e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.82398735551026e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.82398735551026e-05×40589641000000     		ar = 35795.4016817584m²