Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62221 / 13551
↖ ↑ ↗
← N 71.994276°
E161.790161°		 ← 188.80 m → N 71.994276°
E161.795654°		 →
↑
188.84 m
↓
↑
188.84 m
↓
N 71.992578°
E161.790161°		 ← 188.82 m →
35 654 m²		 N 71.992578°
E161.795654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949424743652344 y=0.206779479980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949424743652344 × 216)
    floor (0.949424743652344 × 65536)
    floor (62221.5)     		tx = 62221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206779479980469 × 216)
    floor (0.206779479980469 × 65536)
    floor (13551.5)     		ty = 13551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62221 / 13551 ti = "16/62221/13551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62221/13551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62221 ÷ 216
    62221 ÷ 65536     		x = 0.949417114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13551 ÷ 216
    13551 ÷ 65536     		y = 0.206771850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949417114257812 × 2 - 1) × π
    0.898834228515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82377101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206771850585938 × 2 - 1) × π
    0.586456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.84240679999724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82377101} λ = 2.82377101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84240679999724))-π/2
    2×atan(6.31171102087083)-π/2
    2×1.41366674392984-π/2
    2.82733348785969-1.57079632675     		φ = 1.25653716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82377101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.790161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25653716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.994276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62221 KachelY 13551 2.82377101 1.25653716 161.790161 71.994276
    Oben rechts KachelX + 1 62222 KachelY 13551 2.82386688 1.25653716 161.795654 71.994276
    Unten links KachelX 62221 KachelY + 1 13552 2.82377101 1.25650752 161.790161 71.992578
    Unten rechts KachelX + 1 62222 KachelY + 1 13552 2.82386688 1.25650752 161.795654 71.992578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25653716-1.25650752) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dl = 188.83643999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25653716-1.25650752) × R
    2.96399999999419e-05 × 6371000     		dr = 188.83643999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82377101-2.82386688) × cos(1.25653716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309112004744365 × 6371000     		do = 188.801832058036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82377101-2.82386688) × cos(1.25650752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309140193008558 × 6371000     		du = 188.819049105062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25653716)-sin(1.25650752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309112004744365-0.309140193008558)×R²
    abs(2.82386688-2.82377101)×2.81882641924858e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81882641924858e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81882641924858e-05×40589641000000     		ar = 35654.2914366879m²