Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62220 / 33900
↖ ↑ ↗
← N 65.242908°
W  9.107666°		 ← 127.90 m → N 65.242908°
W  9.104919°		 →
↑
127.87 m
↓
↑
127.87 m
↓
N 65.241758°
W  9.107666°		 ← 127.91 m →
16 355 m²		 N 65.241758°
W  9.104919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474704742431641 y=0.258640289306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474704742431641 × 217)
    floor (0.474704742431641 × 131072)
    floor (62220.5)     		tx = 62220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258640289306641 × 217)
    floor (0.258640289306641 × 131072)
    floor (33900.5)     		ty = 33900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62220 / 33900 ti = "17/62220/33900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62220/33900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62220 ÷ 217
    62220 ÷ 131072     		x = 0.474700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33900 ÷ 217
    33900 ÷ 131072     		y = 0.258636474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.05059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15895876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258636474609375 × 2 - 1) × π
    0.48272705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5165317563801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15895876} λ = -0.15895876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5165317563801))-π/2
    2×atan(4.55639507151099)-π/2
    2×1.35474994067239-π/2
    2.70949988134478-1.57079632675     		φ = 1.13870355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15895876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.107666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13870355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.242908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62220 KachelY 33900 -0.15895876 1.13870355 -9.107666 65.242908
    Oben rechts KachelX + 1 62221 KachelY 33900 -0.15891082 1.13870355 -9.104919 65.242908
    Unten links KachelX 62220 KachelY + 1 33901 -0.15895876 1.13868348 -9.107666 65.241758
    Unten rechts KachelX + 1 62221 KachelY + 1 33901 -0.15891082 1.13868348 -9.104919 65.241758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13870355-1.13868348) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dl = 127.865969999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13870355-1.13868348) × R
    2.00699999999276e-05 × 6371000     		dr = 127.865969999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15895876--0.15891082) × cos(1.13870355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418772150581665 × 6371000     		do = 127.903793982787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15895876--0.15891082) × cos(1.13868348) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.418790375890561 × 6371000     		du = 127.909360461243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13870355)-sin(1.13868348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418772150581665-0.418790375890561)×R²
    abs(-0.15891082--0.15895876)×1.82253088962248e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82253088962248e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82253088962248e-05×40589641000000     		ar = 16354.8985664897m²