Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62220 / 13548
↖ ↑ ↗
← N 71.999370°
E161.784668°		 ← 188.75 m → N 71.999370°
E161.790161°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 71.997672°
E161.784668°		 ← 188.77 m →
35 633 m²		 N 71.997672°
E161.790161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949409484863281 y=0.206733703613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949409484863281 × 216)
    floor (0.949409484863281 × 65536)
    floor (62220.5)     		tx = 62220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206733703613281 × 216)
    floor (0.206733703613281 × 65536)
    floor (13548.5)     		ty = 13548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62220 / 13548 ti = "16/62220/13548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62220/13548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62220 ÷ 216
    62220 ÷ 65536     		x = 0.94940185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13548 ÷ 216
    13548 ÷ 65536     		y = 0.20672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94940185546875 × 2 - 1) × π
    0.8988037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82367514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20672607421875 × 2 - 1) × π
    0.5865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.84269442139496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82367514} λ = 2.82367514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84269442139496))-π/2
    2×atan(6.31352666511321)-π/2
    2×1.41371119146381-π/2
    2.82742238292761-1.57079632675     		φ = 1.25662606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82367514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.784668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25662606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.999370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62220 KachelY 13548 2.82367514 1.25662606 161.784668 71.999370
    Oben rechts KachelX + 1 62221 KachelY 13548 2.82377101 1.25662606 161.790161 71.999370
    Unten links KachelX 62220 KachelY + 1 13549 2.82367514 1.25659643 161.784668 71.997672
    Unten rechts KachelX + 1 62221 KachelY + 1 13549 2.82377101 1.25659643 161.790161 71.997672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25662606-1.25659643) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25662606-1.25659643) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82367514-2.82377101) × cos(1.25662606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309027457343564 × 6371000     		do = 188.750191539642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82367514-2.82377101) × cos(1.25659643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309055636911752 × 6371000     		du = 188.767403275255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25662606)-sin(1.25659643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309027457343564-0.309055636911752)×R²
    abs(2.82377101-2.82367514)×2.81795681876251e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81795681876251e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81795681876251e-05×40589641000000     		ar = 35632.5135008134m²