Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6222 / 7293
↖ ↑ ↗
← N 19.373341°
W 43.286133°		 ← 2 304.93 m → N 19.373341°
W 43.264160°		 →
↑
2 305.03 m
↓
↑
2 305.03 m
↓
N 19.352611°
W 43.286133°		 ← 2 305.23 m →
5 313 273 m²		 N 19.352611°
W 43.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379791259765625 y=0.445159912109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379791259765625 × 214)
    floor (0.379791259765625 × 16384)
    floor (6222.5)     		tx = 6222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445159912109375 × 214)
    floor (0.445159912109375 × 16384)
    floor (7293.5)     		ty = 7293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6222 / 7293 ti = "14/6222/7293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6222/7293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6222 ÷ 214
    6222 ÷ 16384     		x = 0.3797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7293 ÷ 214
    7293 ÷ 16384     		y = 0.44512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    0.1097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.344762182067444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75548554} λ = -0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344762182067444))-π/2
    2×atan(1.41165416307023)-π/2
    2×0.954462454672235-π/2
    1.90892490934447-1.57079632675     		φ = 0.33812858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33812858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.373341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6222 KachelY 7293 -0.75548554 0.33812858 -43.286133 19.373341
    Oben rechts KachelX + 1 6223 KachelY 7293 -0.75510204 0.33812858 -43.264160 19.373341
    Unten links KachelX 6222 KachelY + 1 7294 -0.75548554 0.33776678 -43.286133 19.352611
    Unten rechts KachelX + 1 6223 KachelY + 1 7294 -0.75510204 0.33776678 -43.264160 19.352611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33812858-0.33776678) × R
    0.000361800000000023 × 6371000     		dl = 2305.02780000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33812858-0.33776678) × R
    0.000361800000000023 × 6371000     		dr = 2305.02780000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75548554--0.75510204) × cos(0.33812858) × R
    0.000383499999999981 × 0.943377108714781 × 6371000     		do = 2304.93300711487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75548554--0.75510204) × cos(0.33776678) × R
    0.000383499999999981 × 0.943497064067419 × 6371000     		du = 2305.22609144893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33812858)-sin(0.33776678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943377108714781-0.943497064067419)×R²
    abs(-0.75510204--0.75548554)×0.000119955352638423×R²
    0.000383499999999981×0.000119955352638423×6371000²
    0.000383499999999981×0.000119955352638423×40589641000000     		ar = 5313272.50026468m²