Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6222 / 10073
↖ ↑ ↗
← S 38.151837°
W 43.286133°		 ← 1 921.34 m → S 38.151837°
W 43.264160°		 →
↑
1 921.05 m
↓
↑
1 921.05 m
↓
S 38.169114°
W 43.286133°		 ← 1 920.88 m →
3 690 542 m²		 S 38.169114°
W 43.264160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379791259765625 y=0.614837646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379791259765625 × 214)
    floor (0.379791259765625 × 16384)
    floor (6222.5)     		tx = 6222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614837646484375 × 214)
    floor (0.614837646484375 × 16384)
    floor (10073.5)     		ty = 10073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6222 / 10073 ti = "14/6222/10073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6222/10073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6222 ÷ 214
    6222 ÷ 16384     		x = 0.3797607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10073 ÷ 214
    10073 ÷ 16384     		y = 0.61480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3797607421875 × 2 - 1) × π
    -0.240478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75548554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.2296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.721354465482605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75548554} λ = -0.75548554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.721354465482605))-π/2
    2×atan(0.48609341312136)-π/2
    2×0.45246057422156-π/2
    0.904921148443119-1.57079632675     		φ = -0.66587518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75548554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.286133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66587518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.151837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6222 KachelY 10073 -0.75548554 -0.66587518 -43.286133 -38.151837
    Oben rechts KachelX + 1 6223 KachelY 10073 -0.75510204 -0.66587518 -43.264160 -38.151837
    Unten links KachelX 6222 KachelY + 1 10074 -0.75548554 -0.66617671 -43.286133 -38.169114
    Unten rechts KachelX + 1 6223 KachelY + 1 10074 -0.75510204 -0.66617671 -43.264160 -38.169114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66587518--0.66617671) × R
    0.000301529999999994 × 6371000     		dl = 1921.04762999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66587518--0.66617671) × R
    0.000301529999999994 × 6371000     		dr = 1921.04762999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75548554--0.75510204) × cos(-0.66587518) × R
    0.000383499999999981 × 0.786376446020072 × 6371000     		do = 1921.33666346716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75548554--0.75510204) × cos(-0.66617671) × R
    0.000383499999999981 × 0.786190140843228 × 6371000     		du = 1920.88146803414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66587518)-sin(-0.66617671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786376446020072-0.786190140843228)×R²
    abs(-0.75510204--0.75548554)×0.00018630517684437×R²
    0.000383499999999981×0.00018630517684437×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018630517684437×40589641000000     		ar = 3690542.04569453m²