Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62219 / 33972
↖ ↑ ↗
← N 65.159964°
W  9.110413°		 ← 128.31 m → N 65.159964°
W  9.107666°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
N 65.158811°
W  9.110413°		 ← 128.31 m →
16 455 m²		 N 65.158811°
W  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474697113037109 y=0.259189605712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474697113037109 × 217)
    floor (0.474697113037109 × 131072)
    floor (62219.5)     		tx = 62219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259189605712891 × 217)
    floor (0.259189605712891 × 131072)
    floor (33972.5)     		ty = 33972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62219 / 33972 ti = "17/62219/33972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62219/33972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62219 ÷ 217
    62219 ÷ 131072     		x = 0.474693298339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33972 ÷ 217
    33972 ÷ 131072     		y = 0.259185791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474693298339844 × 2 - 1) × π
    -0.0506134033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15900670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259185791015625 × 2 - 1) × π
    0.48162841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51308029960745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15900670} λ = -0.15900670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51308029960745))-π/2
    2×atan(4.54069597883713)-π/2
    2×1.35402612022383-π/2
    2.70805224044766-1.57079632675     		φ = 1.13725591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15900670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.110413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13725591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.159964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62219 KachelY 33972 -0.15900670 1.13725591 -9.110413 65.159964
    Oben rechts KachelX + 1 62220 KachelY 33972 -0.15895876 1.13725591 -9.107666 65.159964
    Unten links KachelX 62219 KachelY + 1 33973 -0.15900670 1.13723578 -9.110413 65.158811
    Unten rechts KachelX + 1 62220 KachelY + 1 33973 -0.15895876 1.13723578 -9.107666 65.158811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13725591-1.13723578) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13725591-1.13723578) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15900670--0.15895876) × cos(1.13725591) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420086300670952 × 6371000     		do = 128.305169246278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15900670--0.15895876) × cos(1.13723578) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.420104568241971 × 6371000     		du = 128.310748632675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13725591)-sin(1.13723578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420086300670952-0.420104568241971)×R²
    abs(-0.15895876--0.15900670)×1.82675710191926e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82675710191926e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82675710191926e-05×40589641000000     		ar = 16455.2686295342m²