Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62217 / 13561
↖ ↑ ↗
← N 71.977288°
E161.768188°		 ← 188.99 m → N 71.977288°
E161.773682°		 →
↑
189.03 m
↓
↑
189.03 m
↓
N 71.975588°
E161.768188°		 ← 189.01 m →
35 727 m²		 N 71.975588°
E161.773682°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949363708496094 y=0.206932067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949363708496094 × 216)
    floor (0.949363708496094 × 65536)
    floor (62217.5)     		tx = 62217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206932067871094 × 216)
    floor (0.206932067871094 × 65536)
    floor (13561.5)     		ty = 13561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62217 / 13561 ti = "16/62217/13561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62217/13561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62217 ÷ 216
    62217 ÷ 65536     		x = 0.949356079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13561 ÷ 216
    13561 ÷ 65536     		y = 0.206924438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949356079101562 × 2 - 1) × π
    0.898712158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.82338751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206924438476562 × 2 - 1) × π
    0.586151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.84144806200484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82338751} λ = 2.82338751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84144806200484))-π/2
    2×atan(6.30566264358591)-π/2
    2×1.41351849764702-π/2
    2.82703699529403-1.57079632675     		φ = 1.25624067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82338751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.768188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25624067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.977288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62217 KachelY 13561 2.82338751 1.25624067 161.768188 71.977288
    Oben rechts KachelX + 1 62218 KachelY 13561 2.82348339 1.25624067 161.773682 71.977288
    Unten links KachelX 62217 KachelY + 1 13562 2.82338751 1.25621100 161.768188 71.975588
    Unten rechts KachelX + 1 62218 KachelY + 1 13562 2.82348339 1.25621100 161.773682 71.975588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25624067-1.25621100) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dl = 189.027569999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25624067-1.25621100) × R
    2.96699999999817e-05 × 6371000     		dr = 189.027569999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82338751-2.82348339) × cos(1.25624067) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.30939396074588 × 6371000     		do = 188.993758824559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82338751-2.82348339) × cos(1.25621100) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.309422174819988 × 6371000     		du = 189.010993433484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25624067)-sin(1.25621100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30939396074588-0.309422174819988)×R²
    abs(2.82348339-2.82338751)×2.82140741079684e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.82140741079684e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.82140741079684e-05×40589641000000     		ar = 35726.6598862416m²