Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62216 / 13576
↖ ↑ ↗
← N 71.951777°
E161.762695°		 ← 189.23 m → N 71.951777°
E161.768188°		 →
↑
189.22 m
↓
↑
189.22 m
↓
N 71.950076°
E161.762695°		 ← 189.25 m →
35 808 m²		 N 71.950076°
E161.768188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949348449707031 y=0.207160949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949348449707031 × 216)
    floor (0.949348449707031 × 65536)
    floor (62216.5)     		tx = 62216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207160949707031 × 216)
    floor (0.207160949707031 × 65536)
    floor (13576.5)     		ty = 13576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62216 / 13576 ti = "16/62216/13576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62216/13576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62216 ÷ 216
    62216 ÷ 65536     		x = 0.9493408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13576 ÷ 216
    13576 ÷ 65536     		y = 0.2071533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9493408203125 × 2 - 1) × π
    0.898681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82329164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2071533203125 × 2 - 1) × π
    0.585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84000995501624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82329164} λ = 2.82329164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84000995501624))-π/2
    2×atan(6.29660094347927)-π/2
    2×1.41329587465599-π/2
    2.82659174931198-1.57079632675     		φ = 1.25579542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82329164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.762695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25579542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.951777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62216 KachelY 13576 2.82329164 1.25579542 161.762695 71.951777
    Oben rechts KachelX + 1 62217 KachelY 13576 2.82338751 1.25579542 161.768188 71.951777
    Unten links KachelX 62216 KachelY + 1 13577 2.82329164 1.25576572 161.762695 71.950076
    Unten rechts KachelX + 1 62217 KachelY + 1 13577 2.82338751 1.25576572 161.768188 71.950076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25579542-1.25576572) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dl = 189.218700000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25579542-1.25576572) × R
    2.97000000000214e-05 × 6371000     		dr = 189.218700000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82329164-2.82338751) × cos(1.25579542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.30981733340478 × 6371000     		do = 189.232638177648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82329164-2.82338751) × cos(1.25576572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309845571912242 × 6371000     		du = 189.249885912649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25579542)-sin(1.25576572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30981733340478-0.309845571912242)×R²
    abs(2.82338751-2.82329164)×2.82385074622526e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82385074622526e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82385074622526e-05×40589641000000     		ar = 35807.9855933127m²