Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62215 / 34055
↖ ↑ ↗
← N 65.064026°
W  9.121399°		 ← 128.74 m → N 65.064026°
W  9.118653°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
N 65.062868°
W  9.121399°		 ← 128.75 m →
16 577 m²		 N 65.062868°
W  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474666595458984 y=0.259822845458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474666595458984 × 217)
    floor (0.474666595458984 × 131072)
    floor (62215.5)     		tx = 62215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259822845458984 × 217)
    floor (0.259822845458984 × 131072)
    floor (34055.5)     		ty = 34055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62215 / 34055 ti = "17/62215/34055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62215/34055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62215 ÷ 217
    62215 ÷ 131072     		x = 0.474662780761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34055 ÷ 217
    34055 ÷ 131072     		y = 0.259819030761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474662780761719 × 2 - 1) × π
    -0.0506744384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15919844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259819030761719 × 2 - 1) × π
    0.480361938476562 × 3.1415926535     		Φ = 1.50910153693899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15919844} λ = -0.15919844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50910153693899))-π/2
    2×atan(4.52266552043109)-π/2
    2×1.35318889822112-π/2
    2.70637779644224-1.57079632675     		φ = 1.13558147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15919844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.121399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13558147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.064026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62215 KachelY 34055 -0.15919844 1.13558147 -9.121399 65.064026
    Oben rechts KachelX + 1 62216 KachelY 34055 -0.15915051 1.13558147 -9.118653 65.064026
    Unten links KachelX 62215 KachelY + 1 34056 -0.15919844 1.13556126 -9.121399 65.062868
    Unten rechts KachelX + 1 62216 KachelY + 1 34056 -0.15915051 1.13556126 -9.118653 65.062868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13558147-1.13556126) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dl = 128.757909999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13558147-1.13556126) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dr = 128.757909999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15919844--0.15915051) × cos(1.13558147) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421605238828948 × 6371000     		do = 128.742231587447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15919844--0.15915051) × cos(1.13556126) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.421623564756106 × 6371000     		du = 128.747827629765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13558147)-sin(1.13556126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421605238828948-0.421623564756106)×R²
    abs(-0.15915051--0.15919844)×1.83259271577252e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83259271577252e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83259271577252e-05×40589641000000     		ar = 16576.9409357991m²