Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62213 / 34054
↖ ↑ ↗
← N 65.065183°
W  9.126892°		 ← 128.76 m → N 65.065183°
W  9.124145°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
N 65.064026°
W  9.126892°		 ← 128.77 m →
16 580 m²		 N 65.064026°
W  9.124145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474651336669922 y=0.259815216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474651336669922 × 217)
    floor (0.474651336669922 × 131072)
    floor (62213.5)     		tx = 62213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259815216064453 × 217)
    floor (0.259815216064453 × 131072)
    floor (34054.5)     		ty = 34054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62213 / 34054 ti = "17/62213/34054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62213/34054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62213 ÷ 217
    62213 ÷ 131072     		x = 0.474647521972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34054 ÷ 217
    34054 ÷ 131072     		y = 0.259811401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474647521972656 × 2 - 1) × π
    -0.0507049560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15929432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259811401367188 × 2 - 1) × π
    0.480377197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.50914947383861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15929432} λ = -0.15929432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50914947383861))-π/2
    2×atan(4.52288232819066)-π/2
    2×1.35319900322551-π/2
    2.70639800645102-1.57079632675     		φ = 1.13560168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15929432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.126892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13560168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.065183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62213 KachelY 34054 -0.15929432 1.13560168 -9.126892 65.065183
    Oben rechts KachelX + 1 62214 KachelY 34054 -0.15924638 1.13560168 -9.124145 65.065183
    Unten links KachelX 62213 KachelY + 1 34055 -0.15929432 1.13558147 -9.126892 65.064026
    Unten rechts KachelX + 1 62214 KachelY + 1 34055 -0.15924638 1.13558147 -9.124145 65.064026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13560168-1.13558147) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dl = 128.757909999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13560168-1.13558147) × R
    2.0209999999965e-05 × 6371000     		dr = 128.757909999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15929432--0.15924638) × cos(1.13560168) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421586912729588 × 6371000     		do = 128.76349479474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15929432--0.15924638) × cos(1.13558147) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421605238828948 × 6371000     		du = 128.769092057198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13560168)-sin(1.13558147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421586912729588-0.421605238828948)×R²
    abs(-0.15924638--0.15929432)×1.83260993598666e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83260993598666e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83260993598666e-05×40589641000000     		ar = 16579.6788204665m²