Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62213 / 13577
↖ ↑ ↗
← N 71.950076°
E161.746216°		 ← 189.25 m → N 71.950076°
E161.751709°		 →
↑
189.28 m
↓
↑
189.28 m
↓
N 71.948374°
E161.746216°		 ← 189.27 m →
35 823 m²		 N 71.948374°
E161.751709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949302673339844 y=0.207176208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949302673339844 × 216)
    floor (0.949302673339844 × 65536)
    floor (62213.5)     		tx = 62213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207176208496094 × 216)
    floor (0.207176208496094 × 65536)
    floor (13577.5)     		ty = 13577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62213 / 13577 ti = "16/62213/13577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62213/13577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62213 ÷ 216
    62213 ÷ 65536     		x = 0.949295043945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13577 ÷ 216
    13577 ÷ 65536     		y = 0.207168579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949295043945312 × 2 - 1) × π
    0.898590087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82300402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207168579101562 × 2 - 1) × π
    0.585662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.839914081217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82300402} λ = 2.82300402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.839914081217))-π/2
    2×atan(6.2959972933621)-π/2
    2×1.41328102229676-π/2
    2.82656204459353-1.57079632675     		φ = 1.25576572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82300402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.746216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25576572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.950076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62213 KachelY 13577 2.82300402 1.25576572 161.746216 71.950076
    Oben rechts KachelX + 1 62214 KachelY 13577 2.82309989 1.25576572 161.751709 71.950076
    Unten links KachelX 62213 KachelY + 1 13578 2.82300402 1.25573601 161.746216 71.948374
    Unten rechts KachelX + 1 62214 KachelY + 1 13578 2.82309989 1.25573601 161.751709 71.948374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25576572-1.25573601) × R
    2.97100000001826e-05 × 6371000     		dl = 189.282410001164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25576572-1.25573601) × R
    2.97100000001826e-05 × 6371000     		dr = 189.282410001164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82300402-2.82309989) × cos(1.25576572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309845571912242 × 6371000     		do = 189.249885912649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82300402-2.82309989) × cos(1.25573601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.309873819654169 × 6371000     		du = 189.267139287948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25576572)-sin(1.25573601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309845571912242-0.309873819654169)×R²
    abs(2.82309989-2.82300402)×2.82477419277227e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82477419277227e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82477419277227e-05×40589641000000     		ar = 35823.3073806299m²