Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62210 / 76550
↖ ↑ ↗
← S 28.936054°
W  9.135132°		 ← 267.30 m → S 28.936054°
W  9.132385°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
S 28.938458°
W  9.135132°		 ← 267.29 m →
71 455 m²		 S 28.938458°
W  9.132385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474628448486328 y=0.584033966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474628448486328 × 217)
    floor (0.474628448486328 × 131072)
    floor (62210.5)     		tx = 62210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584033966064453 × 217)
    floor (0.584033966064453 × 131072)
    floor (76550.5)     		ty = 76550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62210 / 76550 ti = "17/62210/76550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62210/76550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62210 ÷ 217
    62210 ÷ 131072     		x = 0.474624633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76550 ÷ 217
    76550 ÷ 131072     		y = 0.584030151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474624633789062 × 2 - 1) × π
    -0.050750732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15943813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584030151367188 × 2 - 1) × π
    -0.168060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.527977012415298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15943813} λ = -0.15943813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527977012415298))-π/2
    2×atan(0.58979691546357)-π/2
    2×0.532883451779178-π/2
    1.06576690355836-1.57079632675     		φ = -0.50502942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15943813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.135132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50502942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.936054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62210 KachelY 76550 -0.15943813 -0.50502942 -9.135132 -28.936054
    Oben rechts KachelX + 1 62211 KachelY 76550 -0.15939019 -0.50502942 -9.132385 -28.936054
    Unten links KachelX 62210 KachelY + 1 76551 -0.15943813 -0.50507138 -9.135132 -28.938458
    Unten rechts KachelX + 1 62211 KachelY + 1 76551 -0.15939019 -0.50507138 -9.132385 -28.938458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50502942--0.50507138) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dl = 267.327160000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50502942--0.50507138) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dr = 267.327160000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15943813--0.15939019) × cos(-0.50502942) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875160240432561 × 6371000     		do = 267.296464052827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15943813--0.15939019) × cos(-0.50507138) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875139938021588 × 6371000     		du = 267.290263173932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50502942)-sin(-0.50507138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875160240432561-0.875139938021588)×R²
    abs(-0.15939019--0.15943813)×2.03024109736161e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03024109736161e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03024109736161e-05×40589641000000     		ar = 71454.7757921781m²