Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62210 / 13584
↖ ↑ ↗
← N 71.938158°
E161.729736°		 ← 189.37 m → N 71.938158°
E161.735229°		 →
↑
189.41 m
↓
↑
189.41 m
↓
N 71.936454°
E161.729736°		 ← 189.39 m →
35 870 m²		 N 71.936454°
E161.735229°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949256896972656 y=0.207283020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949256896972656 × 216)
    floor (0.949256896972656 × 65536)
    floor (62210.5)     		tx = 62210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207283020019531 × 216)
    floor (0.207283020019531 × 65536)
    floor (13584.5)     		ty = 13584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62210 / 13584 ti = "16/62210/13584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62210/13584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62210 ÷ 216
    62210 ÷ 65536     		x = 0.949249267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13584 ÷ 216
    13584 ÷ 65536     		y = 0.207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949249267578125 × 2 - 1) × π
    0.89849853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82271640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207275390625 × 2 - 1) × π
    0.58544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83924296462231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82271640} λ = 2.82271640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83924296462231))-π/2
    2×atan(6.291773362632)-π/2
    2×1.41317701786576-π/2
    2.82635403573151-1.57079632675     		φ = 1.25555771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82271640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.729736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25555771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.938158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62210 KachelY 13584 2.82271640 1.25555771 161.729736 71.938158
    Oben rechts KachelX + 1 62211 KachelY 13584 2.82281227 1.25555771 161.735229 71.938158
    Unten links KachelX 62210 KachelY + 1 13585 2.82271640 1.25552798 161.729736 71.936454
    Unten rechts KachelX + 1 62211 KachelY + 1 13585 2.82281227 1.25552798 161.735229 71.936454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25555771-1.25552798) × R
    2.97299999998391e-05 × 6371000     		dl = 189.409829998975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25555771-1.25552798) × R
    2.97299999998391e-05 × 6371000     		dr = 189.409829998975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82271640-2.82281227) × cos(1.25555771) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310043338389825 × 6371000     		do = 189.370679258472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82271640-2.82281227) × cos(1.25552798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310071603230479 × 6371000     		du = 189.387943077465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25555771)-sin(1.25552798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310043338389825-0.310071603230479)×R²
    abs(2.82281227-2.82271640)×2.82648406546016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82648406546016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82648406546016e-05×40589641000000     		ar = 35870.3031360712m²