Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6221 / 2123
↖ ↑ ↗
← N 65.164579°
E 93.383789°		 ← 2 052.39 m → N 65.164579°
E 93.427735°		 →
↑
2 053.12 m
↓
↑
2 053.12 m
↓
N 65.146115°
E 93.383789°		 ← 2 053.82 m →
4 215 270 m²		 N 65.146115°
E 93.427735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75946044921875 y=0.25921630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75946044921875 × 213)
    floor (0.75946044921875 × 8192)
    floor (6221.5)     		tx = 6221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.25921630859375 × 213)
    floor (0.25921630859375 × 8192)
    floor (2123.5)     		ty = 2123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6221 / 2123 ti = "13/6221/2123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6221/2123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6221 ÷ 213
    6221 ÷ 8192     		x = 0.7593994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2123 ÷ 213
    2123 ÷ 8192     		y = 0.2591552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7593994140625 × 2 - 1) × π
    0.518798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.62985459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2591552734375 × 2 - 1) × π
    0.481689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51327204720593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.62985459} λ = 1.62985459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51327204720593))-π/2
    2×atan(4.54156672986605)-π/2
    2×1.35406639198922-π/2
    2.70813278397843-1.57079632675     		φ = 1.13733646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.62985459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.383789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13733646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.164579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6221 KachelY 2123 1.62985459 1.13733646 93.383789 65.164579
    Oben rechts KachelX + 1 6222 KachelY 2123 1.63062158 1.13733646 93.427735 65.164579
    Unten links KachelX 6221 KachelY + 1 2124 1.62985459 1.13701420 93.383789 65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 6222 KachelY + 1 2124 1.63062158 1.13701420 93.427735 65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13733646-1.13701420) × R
    0.000322259999999908 × 6371000     		dl = 2053.11845999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13733646-1.13701420) × R
    0.000322259999999908 × 6371000     		dr = 2053.11845999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.62985459-1.63062158) × cos(1.13733646) × R
    0.000766989999999801 × 0.420013201459149 × 6371000     		do = 2052.39169064102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.62985459-1.63062158) × cos(1.13701420) × R
    0.000766989999999801 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 2053.82067198567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13733646)-sin(1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420013201459149-0.420305636393538)×R²
    abs(1.63062158-1.62985459)×0.000292434934389518×R²
    0.000766989999999801×0.000292434934389518×6371000²
    0.000766989999999801×0.000292434934389518×40589641000000     		ar = 4215270.237674m²