Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62209 / 75009
↖ ↑ ↗
← S 25.167659°
W  9.137879°		 ← 276.43 m → S 25.167659°
W  9.135132°		 →
↑
276.37 m
↓
↑
276.37 m
↓
S 25.170145°
W  9.137879°		 ← 276.43 m →
76 398 m²		 S 25.170145°
W  9.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474620819091797 y=0.572277069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474620819091797 × 217)
    floor (0.474620819091797 × 131072)
    floor (62209.5)     		tx = 62209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572277069091797 × 217)
    floor (0.572277069091797 × 131072)
    floor (75009.5)     		ty = 75009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62209 / 75009 ti = "17/62209/75009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62209/75009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62209 ÷ 217
    62209 ÷ 131072     		x = 0.474617004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75009 ÷ 217
    75009 ÷ 131072     		y = 0.572273254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474617004394531 × 2 - 1) × π
    -0.0507659912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15948607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572273254394531 × 2 - 1) × π
    -0.144546508789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.454106250100792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15948607} λ = -0.15948607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.454106250100792))-π/2
    2×atan(0.635015259226134)-π/2
    2×0.565768904064288-π/2
    1.13153780812858-1.57079632675     		φ = -0.43925852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15948607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.137879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43925852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.167659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62209 KachelY 75009 -0.15948607 -0.43925852 -9.137879 -25.167659
    Oben rechts KachelX + 1 62210 KachelY 75009 -0.15943813 -0.43925852 -9.135132 -25.167659
    Unten links KachelX 62209 KachelY + 1 75010 -0.15948607 -0.43930190 -9.137879 -25.170145
    Unten rechts KachelX + 1 62210 KachelY + 1 75010 -0.15943813 -0.43930190 -9.135132 -25.170145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43925852--0.43930190) × R
    4.33800000000373e-05 × 6371000     		dl = 276.373980000238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43925852--0.43930190) × R
    4.33800000000373e-05 × 6371000     		dr = 276.373980000238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15948607--0.15943813) × cos(-0.43925852) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905067240072712 × 6371000     		do = 276.430831548944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15948607--0.15943813) × cos(-0.43930190) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.905048791073912 × 6371000     		du = 276.425196749834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43925852)-sin(-0.43930190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905067240072712-0.905048791073912)×R²
    abs(-0.15943813--0.15948607)×1.84489987996583e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84489987996583e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84489987996583e-05×40589641000000     		ar = 76397.5104659399m²