Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62208 / 34559
↖ ↑ ↗
← N 64.473978°
W  9.140625°		 ← 131.59 m → N 64.473978°
W  9.137879°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
N 64.472794°
W  9.140625°		 ← 131.59 m →
17 320 m²		 N 64.472794°
W  9.137879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474613189697266 y=0.263668060302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474613189697266 × 217)
    floor (0.474613189697266 × 131072)
    floor (62208.5)     		tx = 62208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263668060302734 × 217)
    floor (0.263668060302734 × 131072)
    floor (34559.5)     		ty = 34559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62208 / 34559 ti = "17/62208/34559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62208/34559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62208 ÷ 217
    62208 ÷ 131072     		x = 0.474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34559 ÷ 217
    34559 ÷ 131072     		y = 0.263664245605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474609375 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263664245605469 × 2 - 1) × π
    0.472671508789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.48494133953048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15953400} λ = -0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48494133953048))-π/2
    2×atan(4.41470643643046)-π/2
    2×1.34803975717972-π/2
    2.69607951435945-1.57079632675     		φ = 1.12528319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12528319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.473978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62208 KachelY 34559 -0.15953400 1.12528319 -9.140625 64.473978
    Oben rechts KachelX + 1 62209 KachelY 34559 -0.15948607 1.12528319 -9.137879 64.473978
    Unten links KachelX 62208 KachelY + 1 34560 -0.15953400 1.12526253 -9.140625 64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 62209 KachelY + 1 34560 -0.15948607 1.12526253 -9.137879 64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12528319-1.12526253) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dl = 131.624859999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12528319-1.12526253) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dr = 131.624859999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15953400--0.15948607) × cos(1.12528319) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430920986352668 × 6371000     		do = 131.586907162257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15953400--0.15948607) × cos(1.12526253) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 131.592600111616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12528319)-sin(1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430920986352668-0.430939629631134)×R²
    abs(-0.15948607--0.15953400)×1.86432784657353e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86432784657353e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86432784657353e-05×40589641000000     		ar = 17320.4829002996m²