Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62206 / 13590
↖ ↑ ↗
← N 71.927936°
E161.707764°		 ← 189.49 m → N 71.927936°
E161.713257°		 →
↑
189.47 m
↓
↑
189.47 m
↓
N 71.926232°
E161.707764°		 ← 189.51 m →
35 906 m²		 N 71.926232°
E161.713257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949195861816406 y=0.207374572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949195861816406 × 216)
    floor (0.949195861816406 × 65536)
    floor (62206.5)     		tx = 62206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207374572753906 × 216)
    floor (0.207374572753906 × 65536)
    floor (13590.5)     		ty = 13590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62206 / 13590 ti = "16/62206/13590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62206/13590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62206 ÷ 216
    62206 ÷ 65536     		x = 0.949188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13590 ÷ 216
    13590 ÷ 65536     		y = 0.207366943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949188232421875 × 2 - 1) × π
    0.89837646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82233290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207366943359375 × 2 - 1) × π
    0.58526611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83866772182687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82233290} λ = 2.82233290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83866772182687))-π/2
    2×atan(6.28815510612237)-π/2
    2×1.41308781837839-π/2
    2.82617563675678-1.57079632675     		φ = 1.25537931
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82233290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.707764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25537931 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.927936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62206 KachelY 13590 2.82233290 1.25537931 161.707764 71.927936
    Oben rechts KachelX + 1 62207 KachelY 13590 2.82242878 1.25537931 161.713257 71.927936
    Unten links KachelX 62206 KachelY + 1 13591 2.82233290 1.25534957 161.707764 71.926232
    Unten rechts KachelX + 1 62207 KachelY + 1 13591 2.82242878 1.25534957 161.713257 71.926232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25537931-1.25534957) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dl = 189.473540000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25537931-1.25534957) × R
    2.97400000000003e-05 × 6371000     		dr = 189.473540000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82233290-2.82242878) × cos(1.25537931) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.310212942335637 × 6371000     		do = 189.494034940754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82233290-2.82242878) × cos(1.25534957) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.310241215037928 × 6371000     		du = 189.511305362793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25537931)-sin(1.25534957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310212942335637-0.310241215037928)×R²
    abs(2.82242878-2.82233290)×2.8272702290999e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.8272702290999e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.8272702290999e-05×40589641000000     		ar = 35905.7417555563m²