Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62204 / 78188
↖ ↑ ↗
← S 32.796510°
W  9.151611°		 ← 256.74 m → S 32.796510°
W  9.148865°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
S 32.798819°
W  9.151611°		 ← 256.73 m →
65 918 m²		 S 32.798819°
W  9.148865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474582672119141 y=0.596530914306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474582672119141 × 217)
    floor (0.474582672119141 × 131072)
    floor (62204.5)     		tx = 62204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596530914306641 × 217)
    floor (0.596530914306641 × 131072)
    floor (78188.5)     		ty = 78188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62204 / 78188 ti = "17/62204/78188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62204/78188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62204 ÷ 217
    62204 ÷ 131072     		x = 0.474578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78188 ÷ 217
    78188 ÷ 131072     		y = 0.596527099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.05084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15972575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.19305419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.60649765399295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15972575} λ = -0.15972575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60649765399295))-π/2
    2×atan(0.545257208202182)-π/2
    2×0.499194621117398-π/2
    0.998389242234796-1.57079632675     		φ = -0.57240708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15972575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.151611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57240708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.796510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62204 KachelY 78188 -0.15972575 -0.57240708 -9.151611 -32.796510
    Oben rechts KachelX + 1 62205 KachelY 78188 -0.15967781 -0.57240708 -9.148865 -32.796510
    Unten links KachelX 62204 KachelY + 1 78189 -0.15972575 -0.57244738 -9.151611 -32.798819
    Unten rechts KachelX + 1 62205 KachelY + 1 78189 -0.15967781 -0.57244738 -9.148865 -32.798819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57240708--0.57244738) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57240708--0.57244738) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15972575--0.15967781) × cos(-0.57240708) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.840599599904437 × 6371000     		do = 256.740754844497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15972575--0.15967781) × cos(-0.57244738) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.840577770444478 × 6371000     		du = 256.734087565535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57240708)-sin(-0.57244738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840599599904437-0.840577770444478)×R²
    abs(-0.15967781--0.15972575)×2.18294599588775e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18294599588775e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18294599588775e-05×40589641000000     		ar = 65917.6666620057m²