Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62204 / 38332
↖ ↑ ↗
← N 59.628880°
W  9.151611°		 ← 154.42 m → N 59.628880°
W  9.148865°		 →
↑
154.43 m
↓
↑
154.43 m
↓
N 59.627491°
W  9.151611°		 ← 154.43 m →
23 848 m²		 N 59.627491°
W  9.148865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474582672119141 y=0.292453765869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474582672119141 × 217)
    floor (0.474582672119141 × 131072)
    floor (62204.5)     		tx = 62204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292453765869141 × 217)
    floor (0.292453765869141 × 131072)
    floor (38332.5)     		ty = 38332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62204 / 38332 ti = "17/62204/38332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62204/38332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62204 ÷ 217
    62204 ÷ 131072     		x = 0.474578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38332 ÷ 217
    38332 ÷ 131072     		y = 0.292449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.05084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15972575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292449951171875 × 2 - 1) × π
    0.41510009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30407541726401
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15972575} λ = -0.15972575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30407541726401))-π/2
    2×atan(3.68428109576408)-π/2
    2×1.30575830915487-π/2
    2.61151661830975-1.57079632675     		φ = 1.04072029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15972575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.151611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04072029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.628880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62204 KachelY 38332 -0.15972575 1.04072029 -9.151611 59.628880
    Oben rechts KachelX + 1 62205 KachelY 38332 -0.15967781 1.04072029 -9.148865 59.628880
    Unten links KachelX 62204 KachelY + 1 38333 -0.15972575 1.04069605 -9.151611 59.627491
    Unten rechts KachelX + 1 62205 KachelY + 1 38333 -0.15967781 1.04069605 -9.148865 59.627491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04072029-1.04069605) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dl = 154.433040000763m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04072029-1.04069605) × R
    2.42400000001197e-05 × 6371000     		dr = 154.433040000763m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15972575--0.15967781) × cos(1.04072029) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.505598944827645 × 6371000     		do = 154.422931867191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15972575--0.15967781) × cos(1.04069605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.505619858190668 × 6371000     		du = 154.429319346568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04072029)-sin(1.04069605))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505598944827645-0.505619858190668)×R²
    abs(-0.15967781--0.15972575)×2.09133630229008e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09133630229008e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09133630229008e-05×40589641000000     		ar = 23848.4960341904m²