Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62203 / 40218
↖ ↑ ↗
← N 56.906003°
W  9.154358°		 ← 166.77 m → N 56.906003°
W  9.151611°		 →
↑
166.79 m
↓
↑
166.79 m
↓
N 56.904503°
W  9.154358°		 ← 166.77 m →
27 816 m²		 N 56.904503°
W  9.151611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474575042724609 y=0.306842803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474575042724609 × 217)
    floor (0.474575042724609 × 131072)
    floor (62203.5)     		tx = 62203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306842803955078 × 217)
    floor (0.306842803955078 × 131072)
    floor (40218.5)     		ty = 40218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62203 / 40218 ti = "17/62203/40218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62203/40218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62203 ÷ 217
    62203 ÷ 131072     		x = 0.474571228027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40218 ÷ 217
    40218 ÷ 131072     		y = 0.306838989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474571228027344 × 2 - 1) × π
    -0.0508575439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15977369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306838989257812 × 2 - 1) × π
    0.386322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21366642458058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15977369} λ = -0.15977369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21366642458058))-π/2
    2×atan(3.36580251857437)-π/2
    2×1.28199672200403-π/2
    2.56399344400805-1.57079632675     		φ = 0.99319712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15977369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.154358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99319712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.906003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62203 KachelY 40218 -0.15977369 0.99319712 -9.154358 56.906003
    Oben rechts KachelX + 1 62204 KachelY 40218 -0.15972575 0.99319712 -9.151611 56.906003
    Unten links KachelX 62203 KachelY + 1 40219 -0.15977369 0.99317094 -9.154358 56.904503
    Unten rechts KachelX + 1 62204 KachelY + 1 40219 -0.15972575 0.99317094 -9.151611 56.904503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99319712-0.99317094) × R
    2.61800000000978e-05 × 6371000     		dl = 166.792780000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99319712-0.99317094) × R
    2.61800000000978e-05 × 6371000     		dr = 166.792780000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15977369--0.15972575) × cos(0.99319712) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546014185523135 × 6371000     		do = 166.766786663888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15977369--0.15972575) × cos(0.99317094) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.546036118309868 × 6371000     		du = 166.773485501506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99319712)-sin(0.99317094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546014185523135-0.546036118309868)×R²
    abs(-0.15972575--0.15977369)×2.19327867330144e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19327867330144e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19327867330144e-05×40589641000000     		ar = 27816.0546199029m²