Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62202 / 75511
↖ ↑ ↗
← S 26.409090°
W  9.157104°		 ← 273.49 m → S 26.409090°
W  9.154358°		 →
↑
273.57 m
↓
↑
273.57 m
↓
S 26.411551°
W  9.157104°		 ← 273.49 m →
74 819 m²		 S 26.411551°
W  9.154358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474567413330078 y=0.576107025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474567413330078 × 217)
    floor (0.474567413330078 × 131072)
    floor (62202.5)     		tx = 62202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576107025146484 × 217)
    floor (0.576107025146484 × 131072)
    floor (75511.5)     		ty = 75511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62202 / 75511 ti = "17/62202/75511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62202/75511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62202 ÷ 217
    62202 ÷ 131072     		x = 0.474563598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75511 ÷ 217
    75511 ÷ 131072     		y = 0.576103210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474563598632812 × 2 - 1) × π
    -0.050872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15982162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576103210449219 × 2 - 1) × π
    -0.152206420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.47817057371006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15982162} λ = -0.15982162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47817057371006))-π/2
    2×atan(0.619916446514916)-π/2
    2×0.554935371508187-π/2
    1.10987074301637-1.57079632675     		φ = -0.46092558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15982162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.157104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46092558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.409090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62202 KachelY 75511 -0.15982162 -0.46092558 -9.157104 -26.409090
    Oben rechts KachelX + 1 62203 KachelY 75511 -0.15977369 -0.46092558 -9.154358 -26.409090
    Unten links KachelX 62202 KachelY + 1 75512 -0.15982162 -0.46096852 -9.157104 -26.411551
    Unten rechts KachelX + 1 62203 KachelY + 1 75512 -0.15977369 -0.46096852 -9.154358 -26.411551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46092558--0.46096852) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dl = 273.570739999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46092558--0.46096852) × R
    4.29399999999913e-05 × 6371000     		dr = 273.570739999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15982162--0.15977369) × cos(-0.46092558) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.895641204272036 × 6371000     		do = 273.494816288163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15982162--0.15977369) × cos(-0.46096852) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.895622104709715 × 6371000     		du = 273.48898400704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46092558)-sin(-0.46096852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895641204272036-0.895622104709715)×R²
    abs(-0.15977369--0.15982162)×1.90995623211565e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90995623211565e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90995623211565e-05×40589641000000     		ar = 74819.3815189596m²