Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6220 / 7299
↖ ↑ ↗
← N 19.248922°
W 43.330078°		 ← 2 306.69 m → N 19.248922°
W 43.308105°		 →
↑
2 306.81 m
↓
↑
2 306.81 m
↓
N 19.228177°
W 43.330078°		 ← 2 306.98 m →
5 321 430 m²		 N 19.228177°
W 43.308105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379669189453125 y=0.445526123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379669189453125 × 214)
    floor (0.379669189453125 × 16384)
    floor (6220.5)     		tx = 6220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445526123046875 × 214)
    floor (0.445526123046875 × 16384)
    floor (7299.5)     		ty = 7299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6220 / 7299 ti = "14/6220/7299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6220/7299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6220 ÷ 214
    6220 ÷ 16384     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7299 ÷ 214
    7299 ÷ 16384     		y = 0.44549560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44549560546875 × 2 - 1) × π
    0.1090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.342461210885681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.342461210885681))-π/2
    2×atan(1.40840972163697)-π/2
    2×0.953376699438992-π/2
    1.90675339887798-1.57079632675     		φ = 0.33595707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33595707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.248922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6220 KachelY 7299 -0.75625253 0.33595707 -43.330078 19.248922
    Oben rechts KachelX + 1 6221 KachelY 7299 -0.75586903 0.33595707 -43.308105 19.248922
    Unten links KachelX 6220 KachelY + 1 7300 -0.75625253 0.33559499 -43.330078 19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 6221 KachelY + 1 7300 -0.75586903 0.33559499 -43.308105 19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33595707-0.33559499) × R
    0.000362080000000042 × 6371000     		dl = 2306.81168000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33595707-0.33559499) × R
    0.000362080000000042 × 6371000     		dr = 2306.81168000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75586903) × cos(0.33595707) × R
    0.000383499999999981 × 0.944095222039414 × 6371000     		do = 2306.68755796151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75586903) × cos(0.33559499) × R
    0.000383499999999981 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 2306.97905591624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33595707)-sin(0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944095222039414-0.944214528108996)×R²
    abs(-0.75586903--0.75625253)×0.000119306069581548×R²
    0.000383499999999981×0.000119306069581548×6371000²
    0.000383499999999981×0.000119306069581548×40589641000000     		ar = 5321430.07439763m²