Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6220 / 10071
↖ ↑ ↗
← S 38.117272°
W 43.330078°		 ← 1 922.25 m → S 38.117272°
W 43.308105°		 →
↑
1 922 m
↓
↑
1 922 m
↓
S 38.134557°
W 43.330078°		 ← 1 921.79 m →
3 694 128 m²		 S 38.134557°
W 43.308105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379669189453125 y=0.614715576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379669189453125 × 214)
    floor (0.379669189453125 × 16384)
    floor (6220.5)     		tx = 6220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.614715576171875 × 214)
    floor (0.614715576171875 × 16384)
    floor (10071.5)     		ty = 10071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6220 / 10071 ti = "14/6220/10071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6220/10071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6220 ÷ 214
    6220 ÷ 16384     		x = 0.379638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10071 ÷ 214
    10071 ÷ 16384     		y = 0.61468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    -0.24072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.75625253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.2293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.720587475088684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75625253} λ = -0.75625253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.720587475088684))-π/2
    2×atan(0.486466385114456)-π/2
    2×0.452762217248276-π/2
    0.905524434496552-1.57079632675     		φ = -0.66527189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75625253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.330078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.66527189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.117272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6220 KachelY 10071 -0.75625253 -0.66527189 -43.330078 -38.117272
    Oben rechts KachelX + 1 6221 KachelY 10071 -0.75586903 -0.66527189 -43.308105 -38.117272
    Unten links KachelX 6220 KachelY + 1 10072 -0.75625253 -0.66557357 -43.330078 -38.134557
    Unten rechts KachelX + 1 6221 KachelY + 1 10072 -0.75586903 -0.66557357 -43.308105 -38.134557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.66527189--0.66557357) × R
    0.000301679999999971 × 6371000     		dl = 1922.00327999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.66527189--0.66557357) × R
    0.000301679999999971 × 6371000     		dr = 1922.00327999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75625253--0.75586903) × cos(-0.66527189) × R
    0.000383499999999981 × 0.786748983836813 × 6371000     		do = 1922.24687710524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75625253--0.75586903) × cos(-0.66557357) × R
    0.000383499999999981 × 0.786562729100136 × 6371000     		du = 1921.79180491159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.66527189)-sin(-0.66557357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.786748983836813-0.786562729100136)×R²
    abs(-0.75586903--0.75625253)×0.00018625473667655×R²
    0.000383499999999981×0.00018625473667655×6371000²
    0.000383499999999981×0.00018625473667655×40589641000000     		ar = 3694127.50565852m²