Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62199 / 75510
↖ ↑ ↗
← S 26.406631°
W  9.165344°		 ← 273.50 m → S 26.406631°
W  9.162598°		 →
↑
273.51 m
↓
↑
273.51 m
↓
S 26.409090°
W  9.165344°		 ← 273.49 m →
74 804 m²		 S 26.409090°
W  9.162598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474544525146484 y=0.576099395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474544525146484 × 217)
    floor (0.474544525146484 × 131072)
    floor (62199.5)     		tx = 62199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576099395751953 × 217)
    floor (0.576099395751953 × 131072)
    floor (75510.5)     		ty = 75510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62199 / 75510 ti = "17/62199/75510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62199/75510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62199 ÷ 217
    62199 ÷ 131072     		x = 0.474540710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75510 ÷ 217
    75510 ÷ 131072     		y = 0.576095581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474540710449219 × 2 - 1) × π
    -0.0509185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15996543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576095581054688 × 2 - 1) × π
    -0.152191162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.47812263681044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15996543} λ = -0.15996543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.47812263681044))-π/2
    2×atan(0.619946164099664)-π/2
    2×0.554956838868247-π/2
    1.10991367773649-1.57079632675     		φ = -0.46088265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15996543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.165344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46088265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.406631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62199 KachelY 75510 -0.15996543 -0.46088265 -9.165344 -26.406631
    Oben rechts KachelX + 1 62200 KachelY 75510 -0.15991750 -0.46088265 -9.162598 -26.406631
    Unten links KachelX 62199 KachelY + 1 75511 -0.15996543 -0.46092558 -9.165344 -26.409090
    Unten rechts KachelX + 1 62200 KachelY + 1 75511 -0.15991750 -0.46092558 -9.162598 -26.409090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46088265--0.46092558) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dl = 273.507029999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46088265--0.46092558) × R
    4.29299999999966e-05 × 6371000     		dr = 273.507029999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15996543--0.15991750) × cos(-0.46088265) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.895660297735547 × 6371000     		do = 273.50064670694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15996543--0.15991750) × cos(-0.46092558) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.895641204272036 × 6371000     		du = 273.494816288163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46088265)-sin(-0.46092558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895660297735547-0.895641204272036)×R²
    abs(-0.15991750--0.15996543)×1.90934635105888e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.90934635105888e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.90934635105888e-05×40589641000000     		ar = 74803.5522650921m²