Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62199 / 34539
↖ ↑ ↗
← N 64.497638°
W  9.165344°		 ← 131.47 m → N 64.497638°
W  9.162598°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.496456°
W  9.165344°		 ← 131.48 m →
17 289 m²		 N 64.496456°
W  9.162598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474544525146484 y=0.263515472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474544525146484 × 217)
    floor (0.474544525146484 × 131072)
    floor (62199.5)     		tx = 62199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263515472412109 × 217)
    floor (0.263515472412109 × 131072)
    floor (34539.5)     		ty = 34539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62199 / 34539 ti = "17/62199/34539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62199/34539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62199 ÷ 217
    62199 ÷ 131072     		x = 0.474540710449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34539 ÷ 217
    34539 ÷ 131072     		y = 0.263511657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474540710449219 × 2 - 1) × π
    -0.0509185791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15996543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263511657714844 × 2 - 1) × π
    0.472976684570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.48590007752288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15996543} λ = -0.15996543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48590007752288))-π/2
    2×atan(4.41894101281663)-π/2
    2×1.34824623800371-π/2
    2.69649247600742-1.57079632675     		φ = 1.12569615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15996543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.165344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12569615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.497638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62199 KachelY 34539 -0.15996543 1.12569615 -9.165344 64.497638
    Oben rechts KachelX + 1 62200 KachelY 34539 -0.15991750 1.12569615 -9.162598 64.497638
    Unten links KachelX 62199 KachelY + 1 34540 -0.15996543 1.12567551 -9.165344 64.496456
    Unten rechts KachelX + 1 62200 KachelY + 1 34540 -0.15991750 1.12567551 -9.162598 64.496456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12569615-1.12567551) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12569615-1.12567551) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15996543--0.15991750) × cos(1.12569615) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.43054829878435 × 6371000     		do = 131.47310252984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15996543--0.15991750) × cos(1.12567551) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.430566927686644 × 6371000     		du = 131.478791089261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12569615)-sin(1.12567551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43054829878435-0.430566927686644)×R²
    abs(-0.15991750--0.15996543)×1.86289022943154e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86289022943154e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86289022943154e-05×40589641000000     		ar = 17288.7504277851m²