Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62198 / 34542
↖ ↑ ↗
← N 64.494091°
W  9.168091°		 ← 131.52 m → N 64.494091°
W  9.165344°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.492908°
W  9.168091°		 ← 131.52 m →
17 295 m²		 N 64.492908°
W  9.165344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474536895751953 y=0.263538360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474536895751953 × 217)
    floor (0.474536895751953 × 131072)
    floor (62198.5)     		tx = 62198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263538360595703 × 217)
    floor (0.263538360595703 × 131072)
    floor (34542.5)     		ty = 34542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62198 / 34542 ti = "17/62198/34542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62198/34542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62198 ÷ 217
    62198 ÷ 131072     		x = 0.474533081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34542 ÷ 217
    34542 ÷ 131072     		y = 0.263534545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474533081054688 × 2 - 1) × π
    -0.050933837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16001337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263534545898438 × 2 - 1) × π
    0.472930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48575626682402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16001337} λ = -0.16001337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48575626682402))-π/2
    2×atan(4.41830556751437)-π/2
    2×1.34821527726852-π/2
    2.69643055453704-1.57079632675     		φ = 1.12563423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16001337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.168091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12563423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.494091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62198 KachelY 34542 -0.16001337 1.12563423 -9.168091 64.494091
    Oben rechts KachelX + 1 62199 KachelY 34542 -0.15996543 1.12563423 -9.165344 64.494091
    Unten links KachelX 62198 KachelY + 1 34543 -0.16001337 1.12561359 -9.168091 64.492908
    Unten rechts KachelX + 1 62199 KachelY + 1 34543 -0.15996543 1.12561359 -9.165344 64.492908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12563423-1.12561359) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12563423-1.12561359) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16001337--0.15996543) × cos(1.12563423) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430604184940948 × 6371000     		do = 131.517601832676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16001337--0.15996543) × cos(1.12561359) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.430622813292942 × 6371000     		du = 131.523291410868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12563423)-sin(1.12561359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430604184940948-0.430622813292942)×R²
    abs(-0.15996543--0.16001337)×1.86283519935659e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86283519935659e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86283519935659e-05×40589641000000     		ar = 17294.6020390503m²