Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62197 / 34543
↖ ↑ ↗
← N 64.492908°
W  9.170838°		 ← 131.52 m → N 64.492908°
W  9.168091°		 →
↑
131.56 m
↓
↑
131.56 m
↓
N 64.491725°
W  9.170838°		 ← 131.53 m →
17 304 m²		 N 64.491725°
W  9.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474529266357422 y=0.263545989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474529266357422 × 217)
    floor (0.474529266357422 × 131072)
    floor (62197.5)     		tx = 62197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263545989990234 × 217)
    floor (0.263545989990234 × 131072)
    floor (34543.5)     		ty = 34543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62197 / 34543 ti = "17/62197/34543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62197/34543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62197 ÷ 217
    62197 ÷ 131072     		x = 0.474525451660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34543 ÷ 217
    34543 ÷ 131072     		y = 0.263542175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474525451660156 × 2 - 1) × π
    -0.0509490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16006131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263542175292969 × 2 - 1) × π
    0.472915649414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.4857083299244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16006131} λ = -0.16006131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4857083299244))-π/2
    2×atan(4.41809377272032)-π/2
    2×1.34820495613041-π/2
    2.69640991226081-1.57079632675     		φ = 1.12561359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16006131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.170838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12561359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.492908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62197 KachelY 34543 -0.16006131 1.12561359 -9.170838 64.492908
    Oben rechts KachelX + 1 62198 KachelY 34543 -0.16001337 1.12561359 -9.168091 64.492908
    Unten links KachelX 62197 KachelY + 1 34544 -0.16006131 1.12559294 -9.170838 64.491725
    Unten rechts KachelX + 1 62198 KachelY + 1 34544 -0.16001337 1.12559294 -9.168091 64.491725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12561359-1.12559294) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dl = 131.561149999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12561359-1.12559294) × R
    2.06499999999554e-05 × 6371000     		dr = 131.561149999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16006131--0.16001337) × cos(1.12561359) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430622813292942 × 6371000     		do = 131.523291410945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16006131--0.16001337) × cos(1.12559294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430641450486717 × 6371000     		du = 131.528983689645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12561359)-sin(1.12559294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430622813292942-0.430641450486717)×R²
    abs(-0.16001337--0.16006131)×1.86371937750396e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86371937750396e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86371937750396e-05×40589641000000     		ar = 17303.7299118579m²