Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62197 / 34541
↖ ↑ ↗
← N 64.495273°
W  9.170838°		 ← 131.51 m → N 64.495273°
W  9.168091°		 →
↑
131.50 m
↓
↑
131.50 m
↓
N 64.494091°
W  9.170838°		 ← 131.52 m →
17 294 m²		 N 64.494091°
W  9.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474529266357422 y=0.263530731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474529266357422 × 217)
    floor (0.474529266357422 × 131072)
    floor (62197.5)     		tx = 62197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263530731201172 × 217)
    floor (0.263530731201172 × 131072)
    floor (34541.5)     		ty = 34541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62197 / 34541 ti = "17/62197/34541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62197/34541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62197 ÷ 217
    62197 ÷ 131072     		x = 0.474525451660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34541 ÷ 217
    34541 ÷ 131072     		y = 0.263526916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474525451660156 × 2 - 1) × π
    -0.0509490966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16006131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263526916503906 × 2 - 1) × π
    0.472946166992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.48580420372364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16006131} λ = -0.16006131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48580420372364))-π/2
    2×atan(4.41851737246145)-π/2
    2×1.3482255979601-π/2
    2.6964511959202-1.57079632675     		φ = 1.12565487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16006131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.170838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12565487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.495273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62197 KachelY 34541 -0.16006131 1.12565487 -9.170838 64.495273
    Oben rechts KachelX + 1 62198 KachelY 34541 -0.16001337 1.12565487 -9.168091 64.495273
    Unten links KachelX 62197 KachelY + 1 34542 -0.16006131 1.12563423 -9.170838 64.494091
    Unten rechts KachelX + 1 62198 KachelY + 1 34542 -0.16001337 1.12563423 -9.168091 64.494091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12565487-1.12563423) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dl = 131.497440000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12565487-1.12563423) × R
    2.06400000000162e-05 × 6371000     		dr = 131.497440000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16006131--0.16001337) × cos(1.12565487) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430585556405513 × 6371000     		do = 131.511912198532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16006131--0.16001337) × cos(1.12563423) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.430604184940948 × 6371000     		du = 131.517601832752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12565487)-sin(1.12563423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430585556405513-0.430604184940948)×R²
    abs(-0.16001337--0.16006131)×1.86285354351057e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86285354351057e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86285354351057e-05×40589641000000     		ar = 17293.8538703564m²