Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62193 / 40205
↖ ↑ ↗
← N 56.925494°
W  9.181824°		 ← 166.68 m → N 56.925494°
W  9.179077°		 →
↑
166.67 m
↓
↑
166.67 m
↓
N 56.923995°
W  9.181824°		 ← 166.69 m →
27 780 m²		 N 56.923995°
W  9.179077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474498748779297 y=0.306743621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474498748779297 × 217)
    floor (0.474498748779297 × 131072)
    floor (62193.5)     		tx = 62193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306743621826172 × 217)
    floor (0.306743621826172 × 131072)
    floor (40205.5)     		ty = 40205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62193 / 40205 ti = "17/62193/40205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62193/40205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62193 ÷ 217
    62193 ÷ 131072     		x = 0.474494934082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40205 ÷ 217
    40205 ÷ 131072     		y = 0.306739807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474494934082031 × 2 - 1) × π
    -0.0510101318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16025306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306739807128906 × 2 - 1) × π
    0.386520385742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.21428960427564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16025306} λ = -0.16025306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21428960427564))-π/2
    2×atan(3.36790067205696)-π/2
    2×1.28216681007421-π/2
    2.56433362014843-1.57079632675     		φ = 0.99353729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16025306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.181824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99353729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.925494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62193 KachelY 40205 -0.16025306 0.99353729 -9.181824 56.925494
    Oben rechts KachelX + 1 62194 KachelY 40205 -0.16020512 0.99353729 -9.179077 56.925494
    Unten links KachelX 62193 KachelY + 1 40206 -0.16025306 0.99351113 -9.181824 56.923995
    Unten rechts KachelX + 1 62194 KachelY + 1 40206 -0.16020512 0.99351113 -9.179077 56.923995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99353729-0.99351113) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dl = 166.665359999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99353729-0.99351113) × R
    2.61599999999973e-05 × 6371000     		dr = 166.665359999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16025306--0.16020512) × cos(0.99353729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545729167699271 × 6371000     		do = 166.679734884121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16025306--0.16020512) × cos(0.99351113) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.545751088588497 × 6371000     		du = 166.686430087934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99353729)-sin(0.99351113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545729167699271-0.545751088588497)×R²
    abs(-0.16020512--0.16025306)×2.19208892262568e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19208892262568e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19208892262568e-05×40589641000000     		ar = 27780.2959501554m²